Gweld cod am Anfeidredd

{{Pethau| fetchwikidata=ALL | suppressfields= gwladwriaeth |image = Infinite.svg | caption = Symbol mathemategol o'r anfeidredd.}}

Mewn [[mathemateg]], mae '''anfeidredd''' yn gysyniad sy'n cyfleu rhif sy'n rhy fawr i fedru ei gyfri. Ysgrifennir yr anfeidredd gyda'r symbol <math>\infty</math>. Fe'i defnyddir yn aml o fewn [[calcwlws]] a [[theori setiau]], ac fe'i defnyddir hefyd mewn [[ffiseg]] a gwyddoniaethau eraill. Mae '[[Set feidraidd|setiau anfeidraidd]]' yn rhan o'r maes hwn. Yr hyn sy'n groes i anfeidredd o fewn mathemateg yw 'meidraidd' e.e. [[rhif naturiol|rhifau naturiol]] a [[rhif real|rhifau real]].

Ffurfiodd Georg Cantor lawer o gysyniadau yn ymwneud ag anfeidredd a setiau anfeidraidd yn ystod diwedd y [[19g]] a dechrau'r [[20g]]. Yn y theori a ddatblygodd, mae setiau anfedraidd o wahanol feintiau (o'r enw prifoledd neu ''cardinalities'').<ref>{{cite book
|title=The Princeton Companion to Mathematics
|first1=Timothy
|last1=Gowers
|first2=June
|last2=Barrow-Green
|first3=Imre
|last3=Leader
|publisher=Princeton University Press
|year=2008
|isbn=0-691-11880-9
|page=616
|url=https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC
|deadurl=no
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160603163923/https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC
|archivedate=2016-06-03
|df=
}} [https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC&pg=PA616 Tud. 616] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160501221357/https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC&pg=PA616 |date=2016-05-01 }}
</ref>

Mae'r cysyniad [[mathemategol]] o anfeidredd yn mireinio ac yn ymestyn yr hen gysyniad [[Athroniaeth|athronyddol]], yn benodol trwy gyflwyno anfeidredd lawer o wahanol feintiau o setiau anfeidrol. Ymhlith [[Gwirebau tebygolrwydd|gwirebau]] theori set Zermelo-Fraenkel, y gellir datblygu'r rhan fwyaf o fathemateg fodern arni, mae gwireb anfeidredd, sy'n gwarantu bodolaeth setiau anfeidrol.<ref name=":1">{{Cite web|url=https://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/infinity/infinity.pdf|title=The History of Infinity|last=Allen|first=Donald|date=2003|website=Texas A&M Mathematics|access-date=2019-11-15|archive-date=2020-08-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20200801202539/https://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/infinity/infinity.pdf|url-status=dead}}</ref> Defnyddir y cysyniad mathemategol o anfeidredd a thrin setiau anfeidrol ym mhob rhan o fathemateg, hyd yn oed mewn meysydd fel [[cyfuniadeg]], a gall ymddangos ar yr olwg cyntaf nad oes ganddynt unrhyw beth i'w wneud â nhw. Er enghraifft, mae prawf Wiles o [[Theorem Olaf Fermat]] yn dibynnu'n llwyr ar fodolaeth setiau anfeidrol mawr iawn <ref>{{Cite journal|title=What does it take to prove Fermat's Last Theorem? Grothendieck and the logic of number theory|last=McLarty|first=Colin|journal=The Bulletin of Symbolic Logic|volume=16|issue=3|year=2010|pages=359–377|doi=10.2178/bsl/1286284558}}</ref> i'w datrys problem. Mewn [[ffiseg]] a [[Cosmoleg|chosmoleg]], mae'r cwestiwn [[Bydysawd (seryddiaeth)|p'un a yw'r Bydysawd yn anfeidrol]] yn gwestiwn agored.

Roedd gan rai o'r diwylliannau hynafol eraill syniadau amrywiol am natur anfeidredd. Nid oedd yr Indiaid a'r [[Groeg yr Henfyd|Groegiaid]] hynafol yn diffinio anfeidredd yn ffurfiol, fel y mae mathemateg fodern yn ei wneud, ac ond hytrach roeddent yn cyfeirio at anfeidredd fel cysyniad athronyddol.

Efallai mai'r syniad cynharaf a gofnodwyd o anfeidredd yw syniad [[Anaximandros]] (tua 610 - tua 546 CC) athronydd Groegaidd cyn-Socratig. Defnyddiodd y gair ''apeiron'', sy'n golygu "heb ei rwymo", "amhenodol", ac efallai y gellir ei gyfieithu fel 'anfeidrol'.<ref name=":1"/><ref>{{Harvard citation no brackets|Wallace|2004}}</ref>

Roedd Aristotle (350 CC) yn gwahaniaethu rhwng  ''anfeidredd posibl'' ac ''anfeidredd gwirioneddol - a'' oedd yn ei ystyried yn amhosibl oherwydd yr amrywiol baradocsau yr oedd yn ymddangos eu bod yn eu cynhyrchu.<ref>{{Cite book|last=Aristotle|url=http://classics.mit.edu/Aristotle/physics.3.iii.html|at=Book 3, Chapters 5–8|title=Physics|publisher=The Internet Classics Archive|access-date=2021-12-07|archive-date=2021-09-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20210921191238/http://classics.mit.edu/Aristotle/physics.3.iii.html|url-status=dead}}</ref> Dadleuwyd, yn unol â'r farn hon, fod gan y [[Oes Helenistaidd|Groegiaid Hellenistig]] "arswyd o'r anfeidrol"<ref>{{Cite journal|last=Nicolas D. Goodman|journal=Constructive Mathematics. Lecture Notes in Mathematics|title=Reflections on Bishop's philosophy of mathematics|publisher=Springer|editor-last=Richman|editor-first=F.|volume=873|year=1981}}</ref><ref>Maor, p. 3</ref> a fyddai, er enghraifft, yn egluro pam [[Euclid|na ddywedodd Euclid]] (tua 300 CC) fod yna anfeidredd o [[Rhif cysefin|rifau cysefin]] ond yn hytrach "Mae rhifau cysefin yn fwy nag unrhyw luoswm o grwpiau o rifau cysefin."<ref>{{Cite book|last=Heath|first=Sir Thomas Little|last2=Heiberg|first2=Johan Ludvig|author-link=Thomas Heath (classicist)|title=The Thirteen Books of Euclid's Elements|volume=v. 2|publisher=The University Press|year=1908|page=412 (Book IX, Proposition 20)|url=https://books.google.com/books?id=lxkPAAAAIAAJ&q=BOOK+IX&pg=RA2-PA112}}.</ref> Dywedwyd hefyd, wrth brofi anfeidredd y rhifau cysefin, mai Euclid "oedd y cyntaf i oresgyn arswyd yr anfeidrol".<ref>{{Cite book|last=Hutten|first=Earnest H.|title=The Origins of Science: An Inquiry into the Foundations of Western Thought|url=https://archive.org/details/originsofscience0000hutt_n9u7|year=1962|publisher=George Allen & Unwin Ltd.|page=[https://archive.org/details/originsofscience0000hutt_n9u7/page/135 135]|isbn=9780049460072}}</ref>

==Geirdarddiad==
Daw'r term '''anfeidraidd''' o'r hen air Cymraeg 'meidrol', sef (gweler [[Geiriadur Prifysgol Cymru]]): ''Ac iddo derfyn(au) neu gyfyngiad(au), terfynedig (yn enw. am ddyn a’i gyneddfau); mesuradwy.'' Hynny yw, yr hyn a ellir ei fesur.<ref>[http://welsh-dictionary.ac.uk/gpc/gpc.html GPC Arlein;] adalwyd 1 Rhagfyr 2018.</ref> Felly, anfidrol, neu'r hyn na ellir ei fesur yw anfeidraidd.

Mae'r ystyr yma i'r gair i'w gael fel cofnod o fewn Geiriadur John Davies, 1632: meidrol, ''non immensus, finitus''. Ystyr arall i'r gair 'meidrol' yw: cryf, cadarn, nerthol, galluog a cheir cofnod o'r ystyr hwn yn y [[13g]]. Bôn y gair yw'r ferf "medraf", "medru".

==Setiau meidraidd==
{{Prif|setiau meidraidd}}

Mewn [[mathemateg]], set gyda nifer meidraidd o elfennau yw '''set feidraidd'''. Yn anffurfiol, mae hefyd yn set y gellir,  mewn, egwyddor gyfri pob elfen ohoni. Er enghraifft, mae

:<math>\{2,4,6,8,10\}</math>

yn set feidraidd gyda phump elfen. Mae'r nifer o elfennau mewn set yn [[rhif naturiol]] ([[cyfanrif]] di-negatif) ac fe'i gelwir yn "prifoledd y set" (''cardinality of the set''). Gelwir set nad yw'n feidraidd yn "anfeidraidd". Er enghraifft, mae'r set o bob cyfanrif positif yn anfeidraidd:

:<math>\{1,2,3,\ldots\}.</math>

Mae setiau meidraidd yn hynod o bwysig mewn [[cyfuniadeg]], sef yr astudiaeth o gyfrif.

==Hanes==
Fe'i ceir mewn symbolau Celtaidd, fel y [[sbiral]] a sawl gwareiddiad arall, ond cyfeiriad yma sydd at yr enaid a duwiau yn byw am byth, yn hytrach na rhifau. Mae bywyd heb henaint fel a geir yn [[Afallon]] yn enghraifft arall.

Rhywbeth tebyg i hyn oedd gan y [[Groeg|wr]] Anaximander (c. 610 – c. 546 CC) a defnyddiai'r gair 'Apeiron' (πεῖραρ peirar, "heb ffiniau") i gyfleu anfeidredd; credodd fod realaeth yn ddi-ffinau, yn afeidrol. Mae'n bosib fod ei syniadau wedi dylanwadu'n ddiweddarach ar [[Pythagoras]].

Awgrymodd Zeno o Elea (490 – c. 430 CC) sawl damcaniaeth am anfeidredd rhifau a datblygodd Eudoxus o Cnidus (390 – c. 337 BC) y cysyniad o anfeidredd rhifau bach.

=== Zeno: Achilles a'r crwban ===
Fel y nodwyd, ni chyflwynodd [[Zeno o Elea]] ( c. 495 - c. 430 CC) unrhyw farn ynghylch anfeidredd. Serch hynny, roedd ei baradocsau,<ref name="Zeno's paradoxes">{{Cite web|url=https://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/|title=Zeno's Paradoxes|date=October 15, 2010|website=Stanford University|access-date=April 3, 2017}}</ref> yn enwedig y chwedl "Achilles a'r Crwban", yn gyfraniadau pwysig gan eu bod yn egluro mor annigonol oedd cysyniadau'r Oes. Disgrifiwyd y paradocsau gan [[Bertrand Russell]] fel rhai "hynod gynnil a dwys".<ref>{{Harvard citation no brackets|Russell|1996}}</ref>

Mewn un stori gan Zeno, mae Achilles yn rasio crwban, gan roi cychwyn da i'r olaf.

: Cam # 1: Mae Achilles yn rhedeg i fan cychwyn y crwban tra bod y crwban yn cerdded ymlaen.
: Cam # 2: Mae Achilles yn symud ymlaen i ble roedd y crwban ar ddiwedd Cam # 1 tra bod y crwban yn mynd ymhellach fyth.
: Cam # 3: Mae Achilles yn symud ymlaen i ble roedd y crwban ar ddiwedd Cam # 2 tra bod y crwban yn mynd ymhellach fyth.
: Cam # 4: Mae Achilles yn symud ymlaen i ble roedd y crwban ar ddiwedd Cam # 3 tra bod y crwban yn mynd ymhellach fyth.

ayb.

Yn ôl pob tebyg, nid yw Achilles byth yn goddiweddyd y crwban, oherwydd faint bynnag o gamau y mae'n eu cwblhau, mae'r crwban yn parhau o'i flaen. Rhywbeth fel hyn sydd yn y stori Pwyll a Rhiannon yn y Mabinogi.

Nid oedd Zeno yn ceisio gwneud pwynt am anfeidredd. Fel aelod o'r ysgol Eleatics a oedd yn ystyried symudiad fel rhith, roedd yn ei ystyried yn gamgymeriad i dybio y gallai Achilles redeg o gwbl. Dadleuodd meddylwyr dilynol, gyda'i gilydd am ddwy fileniwm, gan geisio gweld tyllau yn chwedl Zeno.

O'r diwedd, ym 1821, darparodd Augustin-Louis Cauchy ddiffiniad boddhaol o derfyn a phrawf, ar gyfer 0 < x <1 ,

: {{Dimamlapio|<math>a+ax+ax^2+ax^3+ax^4+ax^5+\cdots=\frac{a}{1-x}</math>.}}<ref>{{Cite book|last=Cauchy|first=Augustin-Louis|author-link=Augustin-Louis Cauchy|access-date=October 12, 2019|title=Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique|year=1821|publisher=Libraires du Roi & de la Bibliothèque du Roi|url=https://books.google.com/books?id=UrT0KsbDmDwC&pg=PA1|page=124}}</ref>

Tybiwch fod Achilles yn rhedeg ar 10 metr yr eiliad, mae'r crwban yn cerdded ar 0.1 metr yr eiliad, ac mae'r crwban 100-metr ar y blaen ar ddechrau'r ras. Mae hyd y hela yn ffitio patrwm Cauchy gyda a = 10 eiliad ac x = 0.01. Nid yw Achilles yn goddiweddyd y crwban; mae'n cymryd

: <math>10+0.1+0.001+0.00001+\cdots=\frac {10}{1-.01}= \frac {10}{0.99}=10.10101\ldots\text{ seconds}.</math>

=== India Cynnar ===
Mae testun mathemategol Jain, y Surya Prajnapti (tua 4ydd-3edd ganrif OC) yn dosbarthu'r holl rifau yn dair set: rhifadwy (''enumerable''), aneirif (''innumerable'') ac anfeidrol. Rhannwyd pob un o'r rhain ymhellach yn dri gorchymyn:<ref>{{Cite book|last=Ian Stewart|title=Infinity: a Very Short Introduction|url=https://books.google.com/books?id=iewwDgAAQBAJ&pg=PA117|year=2017|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-875523-4|page=117}}</ref>

* rhifadwy: isaf, canolradd, ac uchaf
* aneirif: bron yn aneirif, gwirioneddol aneirif, ac aneirif dinifer (''innumerably innumerable'')
* Anfeidrol: bron yn anfeidrol, yn wirioneddol anfeidrol, yn anfeidrol o anfeidrol

=== 17fed ganrif ===
Yn yr [[17g]], dechreuodd mathemategwyr Ewropeaidd ddefnyddio rhifau anfeidrol ac ymadroddion anfeidrol mewn modd systematig. Yn 1655, defnyddiodd John Wallis y nodiant gyntaf <math>\infty</math> am y fath nifer yn ei ''De sectionibus conicis,''<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=OQZxHpG2y3UC&q=infinity|title=A History of Mathematical Notations|last=Cajori|first=Florian|publisher=Cosimo, Inc.|year=2007|isbn=9781602066854|volume=1|pages=214|language=en}}</ref> a'i ddefnyddio wrth gyfrifo arwynebedd trwy rannu'r rhanbarth yn stribedi anfeidrol o led yn y drefn <math>\tfrac{1}{\infty}.</math><ref name="Cajori 1993">{{Harvard citation no brackets|Cajori|1993}}</ref> Ond yn ''Arithmetica infinitorum'' (hefyd yn 1655), mae'n nodi cyfresi anfeidrol, cynhyrchion anfeidrol a ffracsiynau parhaus anfeidrol trwy ysgrifennu ychydig o dermau neu ffactorau ac yna atodi "& c.", Fel yn "1, 6, 12, 18, 24, & c. " <ref name="Cajori 1993"/> Gair Cymraeg yw tarddiad yr enw Wallis, ond yng Nghaint, Lloegr y ganwyd John Wallis, mae'n debyg.<ref>{{Citation|last=Scott|first=Joseph Frederick|title=The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616–1703)|url=https://books.google.com/books?id=XX9PKytw8g8C&pg=PA24|page=24|year=1981|archive-url=https://web.archive.org/web/20160509151853/https://books.google.com/books?id=XX9PKytw8g8C&pg=PA24|edition=2|publisher=[[American Mathematical Society]]|isbn=978-0-8284-0314-6|archive-date=2016-05-09}}</ref><ref>{{Citation|last=Martin-Löf|first=Per|title=COLOG-88 (Tallinn, 1988)|volume=417|pages=146–197|year=1990|series=Lecture Notes in Computer Science|contribution=Mathematics of infinity|place=Berlin|publisher=Springer|doi=10.1007/3-540-52335-9_54|isbn=978-3-540-52335-2|mr=1064143|author-link=Per Martin-Löf}}</ref>

Cyfoeswr i Wallis oedd [[Isaac Newton]] a sgwennodd am hafaliadau â nifer anfeidrol o dermau yn ei waith ''De analysi per aequationes numero terminorum infinitas'' yn 1699.<ref>{{Cite book|title=Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940|first=Ivor|last=Grattan-Guinness|publisher=Elsevier|year=2005|isbn=978-0-08-045744-4|page=62|url=https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC}} [https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC&pg=PA62 Extract of p. 62]</ref>

== Mathemateg ==
Agorodd Hermann Weyl ei anerchiad mathemategol-athronyddol a roddwyd ym 1930 gyda'r geiriau:<ref>{{Citation|last=Weyl|first=Hermann|title=Levels of Infinity / Selected Writings on Mathematics and Philosophy|page=17|year=2012|editor-last=Peter Pesic|publisher=Dover|isbn=978-0-486-48903-2}}</ref><blockquote>'Mathemateg yw Gyddoniaeth o'r Anfeidredd</blockquote>

=== Symbol ===

Fe’i defnyddir y tu allan i fathemateg mewn cyfriniaeth fodern a [[symbol]]iaeth lenyddol.<ref>{{Citation|last=Toker|first=Leona|title=Nabokov: The Mystery of Literary Structures|url=https://books.google.com/books?id=Jud1q_NrqpcC&pg=PA159|page=159|year=1989|archive-url=https://web.archive.org/web/20160509095701/https://books.google.com/books?id=Jud1q_NrqpcC&pg=PA159|publisher=Cornell University Press|isbn=978-0-8014-2211-9|archive-date=2016-05-09}}</ref><ref>{{Citation|last=O'Flaherty|first=Wendy Doniger|title=Dreams, Illusion, and Other Realities|url=https://books.google.com/books?id=vhNNrX3bmo4C&pg=PA243|page=243|year=1986|archive-url=https://web.archive.org/web/20160629143323/https://books.google.com/books?id=vhNNrX3bmo4C&pg=PA243|publisher=University of Chicago Press|isbn=978-0-226-61855-5|archive-date=2016-06-29}}</ref>

=== Calcwlws ===
Bu [[Gottfried Wilhelm von Leibniz|Gottfried Leibniz]], un o gyd-ddyfeiswyr [[Calcwlws|calcwlws anfeidrol]], yn dyfalu'n helaeth am rifau anfeidrol a'u defnydd mewn mathemateg. I Leibniz, roedd anfeidrolion a meintiau anfeidrol yn endidau delfrydol, nid o'r un natur â meintiau gwerthfawr, ond yn mwynhau'r un priodweddau yn unol â Deddf Parhad (''Law of Continuity'').<ref name="Jesseph">{{Cite journal|last=Jesseph|first=Douglas Michael|year=1998|title=Leibniz on the Foundations of the Calculus: The Question of the Reality of Infinitesimal Magnitudes|journal=[[Perspectives on Science]]|volume=6|issue=1&2|pages=6–40|issn=1063-6145|oclc=42413222|url=http://muse.jhu.edu/journals/perspectives_on_science/v006/6.1jesseph.html|access-date=1 Tachwedd 2019|archive-date=15 Chwefror 2010|archive-url=https://www.webcitation.org/5nZWht6FE?url=http://muse.jhu.edu/journals/perspectives_on_science/v006/6.1jesseph.html}}</ref>

==== Dadansoddiad real ====
Mewn [[Dadansoddi real|dadansoddiad real]], defnyddir y symbol <math>\infty</math>, o'r enw "anfeidredd", i ddynodi terfyn diderfyn.<ref>{{Harvard citation no brackets|Taylor|1955}}</ref> Golyga'r nodiant <math>x \rightarrow \infty</math> fod&nbsp;''<math>x</math>'' yn cynyddu heb gyfyngiad, a golyga <math>x \to -\infty</math> fod &nbsp;''<math>x</math>'' yn lleihau heb gyfyngiad. Er enghraifft, os <math>f(t)\ge 0</math> am bob&nbsp;''<math>t</math>'', yna mae<ref>These uses of infinity for integrals and series can be found in any standard calculus text, such as, {{Harvard citation no brackets|Swokowski|1983}}</ref>

* <math>\int_{a}^{b} f(t)\, dt = \infty</math> yn golygu nad yw <math>f(t)</math> ddim yn cyfyngu arwynebedd meidraidd o <math>a</math> i <math>b.</math>
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, dt = \infty</math> yn golygu bod yr ardal o dan <math>f(t)</math> yn anfeidrol.
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, dt = a</math> yn golygu bod cyfanswm yr arwynebedd o dan <math>f(t)</math> yn feidrol, ac yn hafal i <math>a.</math>

Gellir defnyddio anfeidredd hefyd i ddisgrifio [[cyfres|cyfresi anfeidrol]], fel a ganlyn:

* <math>\sum_{i=0}^{\infty} f(i) = a</math> sy'n golygu bod swm y gyfres anfeidrol yn cydgyfeirio i ryw werth real <math>a.
</math>
* <math>\sum_{i=0}^{\infty} f(i) = \infty</math> sy'n golygu bod swm y gyfres anfeidrol yn gwyro'n briodol i anfeidredd, yn yr ystyr bod y symiau rhannol yn cynyddu heb gyfyngiad.<ref>{{Cite web|url=http://mathonline.wikidot.com/properly-divergent-sequences|title=Properly Divergent Sequences - Mathonline|website=mathonline.wikidot.com|access-date=2019-11-15}}</ref>

[[Delwedd:Riemann_sphere1.svg|de|bawd|250x250px| Trwy dafluniad stereograffig, gellir "lapio'r" [[Plân cymhlyg|pl]][[Plân cymhlyg|ân]] cymhlyg ar [[sffêr]], gyda phwynt uchaf y sffêr yn cyfateb i anfeidredd. Gelwir hyn yn sffêr Riemann.]]
Mewn [[Dadansoddi cymhlyg|dadansoddiad cymhlyg]] mae'r symbol <math>\infty</math>, yn dynodi [[Terfan (mathemateg)|terfyn]] anfeidrol heb ei arwyddo.  Golyga <math>x \rightarrow \infty</math> bod y maint&nbsp;<math>|x|</math> o&nbsp;''<math>x</math>'' yn tyfu y tu hwnt i unrhyw werth penodedig. Gellir ychwanegu [[Pwynt anfeidredd|pwynt wedi'i labelu <math>\infty</math>]] at y [[Plân geometraidd|pl]][[Plân geometraidd|ân]] cymhlyg fel [[gofod topolegol]] sy'n rhoi crynhoad un pwynt y plân cymhlyg.<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/ExtendedComplexPlane.html|title=Extended Complex Plane|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-11-15}}</ref> Pan wneir hyn, mae'r gofod sy'n deillio o hyn yn faniffold cymhlyg un dimensiwn, neu arwyneb Riemann, a elwir yn blân cymhlyg estynedig neu'n sffêr Riemann. Gellir diffinio gweithrediadau rhifyddeg tebyg i'r rhai a roddir uchod ar gyfer y [[rhifau real]] estynedig hefyd, er nad oes unrhyw wahaniaeth yn yr arwyddion (sy'n arwain at yr un eithriad na ellir ychwanegu anfeidredd ato'i hun). Ar y llaw arall, mae'r math hwn o anfeidredd yn galluogi [[rhannu â sero]], sef <math>z/0 = \infty</math> ar gyfer unrhyw rif cymhlyg di-sero&nbsp;''<math>z</math>''. Yn y cyd-destun hwn, mae'n aml yn ddefnyddiol ystyried ffwuthiannau meromorffig fel mapiau y tu mewn i sffêr Riemann gan gymryd gwerth <math>\infty</math> wrth y pegynnau. Gellir ymestyn parth ffwythiant â gwerth cymhlyg i gynnwys y pwynt anfeidredd hefyd. Un enghraifft bwysig o ffwythiannau o'r fath yw'r grŵp o drawsnewidiadau Möbius.

=== Dadansoddiad ansafonol ===
[[Delwedd:Números_hiperreales.png|bawd|450x450px| Anfeidrolion (ε) ac anfeidredd (ω) ar y llinell rif uwchreal (1 / ε = ω / 1)]]
Defnyddiwyd ffurfiant gwreiddiol [[Calcwlws|calcwlws anfeidaidd]] (gan [[Isaac Newton]] a [[Gottfried Leibniz|Gottfried Leibniz)]] feintiau [[Anfeidrol|gorfychan]] (''infitesimal''). Yn yr [[20g]], dangoswyd y gellid rhoi'r driniaeth hon ar sylfaen drylwyr trwy amrywiol systemau rhesymegol, gan gynnwys dadansoddiad o'r gorfychanion llyfn a [[dadansoddiad ansafonol]]. Yn yr olaf, mae'r gorfychanion yn anadferadwy, ac mae eu gwrthdroadau yn rhifau anfeidrol. Mae'r anfeidredd yn yr ystyr hwn yn rhan o faes uwchreal; nid oes cywerthedd rhyngddynt ag yn yr un modd â thrawsfinau Cantorian. Er enghraifft, os&nbsp;yw H yn rhif anfeidrol yn yr ystyr hwn, yna mae H.&nbsp;+&nbsp;H.&nbsp;=&nbsp;2H a H.&nbsp;+&nbsp; 1 yn rhifau anfeidrol amlwg. Mae'r dull hwn o ymdrin â chalcwlws ansafonol wedi'i ddatblygu'n llawn yn Keisler (1986).

=== Theori set ===
[[Delwedd:Infinity_paradoxon_-_one-to-one_correspondence_between_infinite_set_and_proper_subset.gif|bawd|Gohebiaeth un i un rhwng set anfeidrol a'i is-set briodol]]
Math gwahanol o "anfeidredd" yw anfeidredd [[Trefnolyn|trefnol]] a [[Rhif prifol|chardinal]] theori set - system o rifau trawsfeidraidd (''transfinite'') a ddatblygwyd gyntaf gan [[Georg Cantor]]. Yn y system hon, y prifoledd trawsfeidraidd cyntaf yw [[Rhif aleph|aleph-nwl]] (<span style="font-family:'Cambria Math';"><big>ℵ</big> <sub>0</sub></span>), [[Rhif prifol|prifoledd]] y set o [[Rhif naturiol|rifau naturiol]]. Datblygodd y cysyniad mathemategol modern hwn o'r anfeidrol feintiol ddiwedd y [[19g]] allan o weithiau gan Cantor, [[Gottlob Frege]], Richard Dedekind ac eraill - gan ddefnyddio'r syniad o gasgliadau neu setiau.<ref name=":1"/>

Diffiniodd Cantor ddau fath o rifau anfeidrol: [[Trefnolyn|trefnolion]] a [[Rhif prifol|phrifolion]]. Mae trefnolion yn nodweddu setiau trefnus, neu gyfrif ymlaen i unrhyw bwynt stop. Mae cyffredinoli dilyniannau anfeidrol a meidraidd yn arwain at [[Ffwythiant|fapiau]] o drefnolion i ddilyniannau trawsfeidraidd. Mae rhifau cardinal (y prifolion) yn diffinio maint setiau, sy'n golygu faint o aelodau sydd ynddynt, a gellir eu safoni trwy ddewis y trefnolyn cyntaf o faint penodol i gynrychioli prifolyn o'r maint hwnnw. Yr anfeidredd trefnol lleiaf yw un y cyfanrifau positif, ac mae unrhyw set sydd â chardinoldeb y cyfanrifau yn anfeidrol rhifadwy. Os yw set yn rhy fawr i'w rhoi mewn cyfatebiaeth un-i-un gyda'r cyfanrifau positif, fe'i gelwir yn ''anrhifadwy''. Daeth barn Cantor yn rhan anhepgor o fathemateg fodern, a derbyniwyd y cysyniad o anfeidredd gwirioneddol fel rhan o theori gyson a chydlynol.<ref>{{Cite web|url=https://math.dartmouth.edu/~matc/Readers/HowManyAngels/InfinityMind/IM.html|title=Infinity|website=math.dartmouth.edu|access-date=2019-11-16}}</ref><ref>{{Cite book|title=The Infinite|first=A.W.|last=Moore|publisher=Routledge|year=1991}}
</ref> . 

=== Geometreg ===
Hyd at ddiwedd y [[19g]], anaml y trafodwyd anfeidredd mewn [[geometreg]], ac eithrio yng nghyd-destun prosesau y gellid eu parhau heb unrhyw derfyn. Er enghraifft, [[llinell]] oedd yr hyn a elwir bellach yn [[segment o linell]], gyda'r amod y gellir ei hymestyn heb derfyn; ond yr oedd ei hymestyn yn ''anfeidrol'' allan o'r cwestiwn. Yn yr un modd, nid oedd llinell fel arfer yn cael ei hystyried yn cynnwys nifer anfeidrol o bwyntiau, ond yn hytrach, yn lleoliad lle gellir gosod pwynt. Hyd yn oed os oes nifer anfeidrol o safleoedd posibl, dim ond nifer gyfyngedig o bwyntiau y gellid eu gosod ar linell. Caiff hyn ei atgyfnerthu yn yr ymadrodd " locws y ''pwynt'' (unigol) sy'n bodloni rhyw briodwedd", lle byddai mathemategwyr modern fel arfer yn dweud "set ''y pwyntiau'' sydd â'r priodwedd" (lluosog).

Un o'r eithriadau prin o gysyniad mathemategol sy'n cynnwys [[anfeidredd gwirioneddol]] oedd [[geometreg dafluniol]], lle mae [[Pwynt anfeidredd|pwyntiau anfeidredd]] yn cael eu hychwanegu at y [[gofod Euclidaidd]] ar gyfer modelu'r [[Persbectif|effaith persbectif]] sy'n dangos [[Cyflin|llinellau cyfochrog]] yn croestorri "ar yr anfeidredd". Yn fathemategol, mae gan bwyntiau anfeidredd y fantais o ganiatáu i un beidio ag ystyried rhai achosion arbennig. Er enghraifft, mewn plân dafluniol, mae dwy [[Llinell|linell]] wahanol yn croestorri mewn un pwynt yn union, ond heb bwyntiau yn yr anfeidredd, nid oes pwyntiau croestoriad ar gyfer [[Cyfochrog|llinellau cyfochrog]]. Felly, rhaid astudio llinellau cyfochrog ac nad ydynt yn gyfochrog ar wahân mewn geometreg glasurol, tra nad oes angen eu gwahaniaethu mewn geometreg dafluniol.

Cyn defnyddio [[Damcaniaeth setiau|theori set]] ar gyfer sylfaen mathemateg, roedd pwyntiau a llinellau yn cael eu hystyried yn endidau gwahanol, a gellid ''lleoli pwynt ar linell''. Gyda'r defnydd cyffredinol o theori set mewn mathemateg, mae'r safbwynt wedi newid yn ddramatig: mae llinell bellach yn cael ei hystyried fel ''set o'i phwyntiau'', a dywedir fel arfer bod pwynt yn ''perthyn i linell yn'' lle ei bod ''wedi'i lleoli ar linell'' (fodd bynnag, defnyddir yr ymadrodd olaf o hyd).

Yn benodol, mewn mathemateg fodern, ''setiau anfeidrol'' yw llinellau.

=== Dimensiwn anfeidrol ===
Mae gan y [[Gofod fector|gofodau fector]] sy'n digwydd mewn [[Geometreg|geometreg glasurol]] ddimensiwn meidrol bob amser, dau neu dri fel arfer. Fodd bynnag, nid yw hyn yn cael ei awgrymu gan y diffiniad haniaethol o ofod fector, a gellir ystyried gofodau fector dimensiwn anfeidrol. Mae hyn yn wir fel arfer mewn dadansoddiad ffwythiannol lle mae gofod-ffwythiant yn gyffredinol yn ofod fector o ddimensiwn anfeidrol.

Mewn [[topoleg]], gall rhai cystrawennau gynhyrchu [[Gofod topolegol|gofodau topolegol]] o ddimensiwn anfeidrol.

=== Ffractalau ===
Ailadroddir strwythur [[Ffractal|gwrthrych ffractalaidd]] pan gaiff ei chwyddo, a gellir gwneud hynny am gyfnod amhenodol heb golli'r strwythur, a dod yn "llyfn"; mae ganddynt berimedrau anfeidrol, a gallant fod ag arwynebedd anfeidrol neu feidrol. Un gromlin ffractal o'r fath gyda pherimedr anfeidrol ac ardal meidrol yw pluen eira Koch. 

=== Mathemateg heb anfeidredd ===
Roedd Leopold Kronecker yn amheus o'r syniad o anfeidredd a sut roedd ei gyd-fathemategwyr yn ei ddefnyddio yn yr [[1870au]] a'r [[1880au]]. Datblygwyd yr amheuaeth hon yn athroniaeth mathemategol a elwir yn feidroldeb, ffurf eithafol o [[athroniaeth]] fathemategol o fewn athroniaeth a mathemateg adeiladaeth a greddf.<ref>{{Harvard citation no brackets|Kline|1972|pp=1197–1198}}</ref>

==Llyfryddiaeth==
{{Refbegin}}
* W. D. Evans. [http://cylchgronaucymru.llgc.org.uk/browse/viewpage/llgc-id:1394134/llgc-id:1406906/llgc-id:1406972/get650 "Tu Hwnt i Anfeidredd"], ''[[Y Gwyddonydd]]'' (Gaeaf 1985–6).
* {{citation|first=Florian|last=Cajori|title=A History of Mathematical Notations (Two Volumes Bound as One)|year=1993|orig-year=1928 & 1929|publisher=Dover|isbn=978-0-486-67766-8|url=https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0}}
* {{citation|first=Michael C.|last=Gemignani|title=Elementary Topology|edition=2nd|publisher=Dover|year=1990|isbn=978-0-486-66522-1}}
* {{citation|first=H. Jerome|last=Keisler|author-link=Howard Jerome Keisler|title=Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals|edition=2nd|year=1986|url=http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html}}
* {{citation|first=Randall B.|last=Maddox|title=Mathematical Thinking and Writing: A Transition to Abstract Mathematics|publisher=Academic Press|year= 2002|isbn=978-0-12-464976-7}}
* {{citation |title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times |last=Kline |first=Morris |author-link=Morris Kline |year=1972 |publisher=Oxford University Press |location= New York|isbn=978-0-19-506135-2 |pages=1197–1198}}
* {{citation |title=The Principles of Mathematics |last=Russell |first=Bertrand |author-link=Bertrand Russell |year=1996 |orig-year=1903 |publisher=Norton |location=New York|isbn=978-0-393-31404-5 |oclc=247299160}}
* {{citation | first=Hans | last=Sagan | title=Space-Filling Curves | publisher=Springer | year=1994 | isbn=978-1-4612-0871-6}}
* {{citation|first=Earl W.|last=Swokowski|title=Calculus with Analytic Geometry|edition=Alternate|year=1983|publisher=Prindle, Weber & Schmidt|isbn=978-0-87150-341-1|url=https://archive.org/details/calculuswithanal00swok}}
* {{citation|first=Angus E.|last=Taylor|title=Advanced Calculus|year=1955|publisher=Blaisdell Publishing Company}}
* {{citation | first=David Foster | last=Wallace | author-link=David Foster Wallace | title=Everything and More: A Compact History of Infinity | publisher=Norton, W.W. & Company, Inc. | year=2004 | isbn=978-0-393-32629-1}}
{{Refend}}
 
=== Cyfeiriadau ===
{{cyfeiriadau}}

;Cyfeiriadau eraill
{{Refbegin}}
*{{cite book | first=Amir D. | last=Aczel | title=The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity | url=https://archive.org/details/mysteryofalephma0000acze_h9v0 | publisher=Pocket Books | place=New York | year=2001 | isbn=978-0-7434-2299-4 }}
*[[D.P. Agrawal]] (2000). ''[http://www.infinityfoundation.com/mandala/t_es/t_es_agraw_jaina.htm Ancient Jaina Mathematics: an Introduction]'', [http://infinityfoundation.com Infinity Foundation].
* Bell, J.L.: Continuity and infinitesimals. Stanford Encyclopedia of philosophy. Revised 2009.
*{{Citation |last=Cohen |first=Paul |title=The Independence of the Continuum Hypothesis |doi=10.1073/pnas.50.6.1143 |journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]] |volume= 50|issue=6 |pages=1143–1148 |year=1963 |pmid=16578557 |pmc=221287|bibcode=1963PNAS...50.1143C |doi-access=free }}.
*{{cite book | first=L.C. |last=Jain | title=Exact Sciences from Jaina Sources | year=1982}}
* Jain, L.C. (1973). "Set theory in the Jaina school of mathematics", ''Indian Journal of History of Science''.
*{{cite book | first=George G. |last=Joseph | title=The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics | edition=2nd | publisher=[[Penguin Books]] | year=2000 | isbn= 978-0-14-027778-4}}
* H. Jerome Keisler: Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. First edition 1976; 2nd edition 1986. This book is now out of print. The publisher has reverted the copyright to the author, who has made available the 2nd edition in .pdf format available for downloading at http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
*{{cite book | author=Eli Maor | title=To Infinity and Beyond | publisher=Princeton University Press | year=1991 | isbn=978-0-691-02511-7 | author-link=Eli Maor | url=https://books.google.com/books?id=lXjF7JnHQoIC&q=To+Infinity+and+beyond }}
* O'Connor, John J. and Edmund F. Robertson (1998). [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Cantor.html 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor'] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060916095918/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Cantor.html |date=2006-09-16 }}, ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]''.
* O'Connor, John J. and Edmund F. Robertson (2000). [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Jaina_mathematics.html 'Jaina mathematics'] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081220145242/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Jaina_mathematics.html |date=2008-12-20 }}, ''MacTutor History of Mathematics archive''.
* Pearce, Ian. (2002). [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch5.html 'Jainism'], ''MacTutor History of Mathematics archive''.
*{{cite book | author=Rucker, Rudy | title=Infinity and the Mind: The Science and Philosophy of the Infinite | publisher=Princeton University Press | year=1995 | isbn=978-0-691-00172-2| author-link=Rudy Rucker }}
*{{cite journal | first=Navjyoti |last=Singh | title=Jaina Theory of Actual Infinity and Transfinite Numbers | journal=Journal of the Asiatic Society | volume=30 | year=1988}}<!-- {{cite book | author=Navjyoti Singh | title=Jaina Theory of Actual Infinity and Transfinite Numbers | journal=Vaishali Institute Research Bulletin| volume=5 | year=1986}}-->
{{Refend}}

== Dolenni allanol ==

* ''[http://www.earlham.edu/~peters/writing/infapp.htm Cwrs Cwymp ym Mathemateg Setiau Anfeidrol] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100227033849/http://www.earlham.edu/~peters/writing/infapp.htm |date=2010-02-27 }}'', gan Peter Suber. O Adolygiad Sant Ioan, XLIV, 2 (1998) 1-59. Yr atodiad ar ei ben ei hun i ''Infinite Reflections'', isod. Cyflwyniad cryno i fathemateg Cantor o setiau anfeidrol.
* ''[http://www.earlham.edu/~peters/writing/infinity.htm Myfyrdodau Anfeidrol] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20091105182928/http://www.earlham.edu/~peters/writing/infinity.htm |date=2009-11-05 }}'', gan Peter Suber. Sut mae mathemateg Cantor yr anfeidrol yn datrys llond llaw o broblemau athronyddol hynafol yr anfeidrol. O Adolygiad Sant Ioan, XLIV, 2 (1998) 1-59.
* {{Cite web|last=Grime|first=James|title=Infinity is bigger than you think|url=http://www.numberphile.com/videos/countable_infinity.html|website=Numberphile|publisher=[[Brady Haran]]|access-date=2013-04-06|archiveurl=https://web.archive.org/web/20171022173525/http://www.numberphile.com/videos/countable_infinity.html|archivedate=2017-10-22}}
* [https://web.archive.org/web/20040910082530/http://www.c3.lanl.gov/mega-math/workbk/infinity/infinity.html Anfeidredd Gwesty]
* John J. O'Connor ac Edmund F. Robertson (1998). [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Cantor.html 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor'] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060916095918/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Cantor.html |date=2006-09-16 }}, ''archif Hanes Mathemateg MacTutor'' .
* John J. O'Connor ac Edmund F. Robertson (2000). [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Jaina_mathematics.html 'Jaina mathemateg'] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081220145242/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Jaina_mathematics.html |date=2008-12-20 }}, ''archif Hanes Mathemateg MacTutor'' .
* Ian Pearce (2002). [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch5.html 'Jainism'], ''archif Hanes Mathemateg MacTutor'' .
* [https://web.archive.org/web/20060428005158/http://uk.geocities.com/frege@btinternet.com/cantor/Phil-Infinity.htm Tudalen ffynhonnell ar ysgrifennu canoloesol a modern ar Infinity]
* [https://www.washingtonpost.com/wp-srv/style/longterm/books/chap1/mysteryaleph.htm Dirgelwch yr Aleph: Mathemateg, y Kabbalah, a'r Chwilio am Anfeidredd]
* [http://dictionary.of-the-infinite.com Geiriadur yr Anfeidrol] (crynhoad o erthyglau am anfeidredd mewn ffiseg, mathemateg, ac athroniaeth)

==Cyfeiriadau==
{{cyfeiriadau}}

{{Rheoli awdurdod}}

[[Categori:Gwrthrychau mathemategol]]
[[Categori:Athroniaeth mathemateg]]
[[Categori:Anfeidredd]]