Gweld cod am Arwynebedd

{{Pethau| fetchwikidata=ALL | suppressfields= }}

Priodwedd meintiol yw '''arwynebedd''' (sy'n enw gwrywaidd) a mesuriad y [[gofod dau ddimensiwn]] mae’n ei orchuddio. Mesurir arwynebedd, fel arfer, mewn sgwariau e.e. [[milimetr]] [[sgwâr]], [[centimetr]] sgwâr. Defnyddir y term 'arwyneb yr arwynebedd' am ''surface area''.<ref>[http://geiriadur.bangor.ac.uk/#arwynebedd%20arwyneb&sln=cy geiriadur.bangor.ac.uk;] ''geiriadur Bangor''. Adalwyd 10 Chwefror 2019.</ref>

[[Delwedd:Area.svg|alt=Three shapes on a square grid|de|bawd|Mae cyfanswm arwynebedd y tri [[siâp]] hyn [[Brasamcan|oddeutu]] 15.57 [[sgwâr]].]]
Arwynebedd, felly, yw'r lamina planar, yn  y [[Plân geometraidd|plân]], a'r  faint o baent sy’n angenrheidiol i orchuddio’r wyneb ag un gôt.<ref name="MathWorld 4">{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Area.html|title=Area|publisher=[[Wolfram MathWorld]]|authorlink=Eric W. Weisstein|last=Weisstein, Eric W.|access-date=3 Gorffennaf 2012|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120505085753/http://mathworld.wolfram.com/Area.html|archivedate=5 Mai 2012}}</ref> Mae'n analog dau ddimensiwn o [[hyd]] cromlin (cysyniad un dimensiwn) neu [[Cyfaint|gyfaint]] solid (cysyniad tri dimensiwn).

Gellir mesur arwynebedd siâp trwy gymharu'r siâp â [[Sgwâr|sgwariau]] o faint sefydlog: gweler y diagram.<ref name="AF">{{Cite web|url=http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm|title=Area Formulas|publisher=Math.com|access-date=2 Gorffennaf 2012|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120702135710/http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm|archivedate=2 Gorffennaf 2012}}</ref> Yn y [[System Ryngwladol o Unedau]] (OS), yr uned arwynebedd safonol yw'r [[metr sgwâr]] (wedi'i ysgrifennu fel m<sup>2</sup>), sef arwynebedd sgwâr y mae ei ochrau'n un [[Metr|fetr o]] hyd.<ref name="B">{{Cite web|publisher=[[Bureau International des Poids et Mesures]]|url=http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/|title=Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960)|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120728105135/http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/|archivedate=2012-07-28|access-date=15 Gorffennaf 2012}}</ref> Byddai gan siâp ag arwynebedd o dri metr sgwâr yr un arwynebedd â thri sgwâr o'r fath. Mewn [[mathemateg]], diffinnir sgwâr fel uned sydd ag arwynebedd o un, ac mae arwynebedd unrhyw siâp neu arwyneb arall yn [[rhif real]] di-ddimensiwn.
[[Delwedd:Squaring_the_circle.svg|de|bawd| Mae gan y sgwâr hwn a'r ddisg hon yr un arwynebedd (gweler: [[sgwario'r cylch]]).]]
Mae yna sawl [[fformiwla]] adnabyddus ar gyfer arwynebedd siapiau syml fel [[triongl]]au, [[petryal]]au, a [[Cylch|chylchoedd]]. Gan ddefnyddio'r fformwlâu hyn, gellir dod o hyd i arwynebedd unrhyw [[Polygon|bolygon]] trwy rannu'r polygon yn drionglau.<ref name="bkos">{{Cite book|last=Mark de Berg|last2=Marc van Kreveld|last3=Mark Overmars|author-link3=Mark Overmars|last4=Otfried Schwarzkopf|year=2000|title=Computational Geometry|publisher=[[Springer-Verlag]]|edition=2nd revised|isbn=978-3-540-65620-3|chapter=Chapter 3: Polygon Triangulation|pages=[https://archive.org/details/computationalgeo00berg/page/45 45–61]}}</ref> Ar gyfer siap â ffin grom, fel rheol mae angen [[calcwlws]] i gyfrifo'r arwynebedd. Yn wir, roedd y broblem o bennu arwynebedd ffigurau plân yn gymhelliant mawr i ddatblygiad hanesyddol calcwlws.<ref>{{Cite book|first=Carl B.|last=Boyer|author-link=Carl Benjamin Boyer|title=A History of the Calculus and Its Conceptual Development|publisher=Dover|year=1959|isbn=978-0-486-60509-8|url=https://archive.org/details/historyofcalculu00boye}}</ref>

Ar gyfer siâp solet fel [[sffêr]], [[côn]], neu [[silindr]], gelwir arwynebedd ei ffin yn "[[arwyneb yr arwynebedd]]".<ref name="MathWorld 3">{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Area.html|title=Area|publisher=[[Wolfram MathWorld]]|authorlink=Eric W. Weisstein|last=Weisstein, Eric W.|access-date=3 Gorffennaf 2012|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120505085753/http://mathworld.wolfram.com/Area.html|archivedate=5 Mai 2012}}<cite class="citation web cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFWeisstein,_Eric_W.">[[Eric W. Weisstein|Weisstein, Eric W.]] [http://mathworld.wolfram.com/Area.html "Area"]. [[Wolfram MathWorld]]. [https://web.archive.org/web/20120505085753/http://mathworld.wolfram.com/Area.html Archived] from the original on 5 Mai 2012<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">3 July</span> 2012</span>.</cite></ref><ref name="MathWorldSurfaceArea">{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html|title=Surface Area|publisher=[[Wolfram MathWorld]]|authorlink=Eric W. Weisstein|last=Weisstein, Eric W.|access-date=3 Gorffennaf 2012|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120623021029/http://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html|archivedate=23 Mehefin 2012}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.ck12.org/c/geometry/surface-area/lesson/Surface-Area-and-Nets-GEO-CCSS/|title=Surface Area|last=Foundation|first=CK-12|website=CK-12 Foundation|language=en|access-date=2018-10-09}}</ref> Cyfrifwyd [[Fformiwla|fformiwlâu]] ar gyfer arwynebedd siapiau syml gan yr [[hen Roegiaid]], ond fel rheol mae cyfrifo arwynebedd siâp mwy cymhleth yn gofyn am galcwlws aml-newidyn (<nowiki><i>multivariable</i></nowiki>).

Mae arwynebedd yn chwarae rhan bwysig mewn mathemateg fodern. Yn ychwanegol at ei bwysigrwydd amlwg mewn [[geometreg]] a [[Calcwlws|chalcwlws]], mae arwynebedd yn gysylltiedig â'r diffiniad o benderfynyddion mewn [[algebra llinol]], ac mae'n briodwedd sylfaenol arwynebau mewn [[geometreg gwahaniaethol|geometreg wahaniaethol]]. Mewn dadansoddiad, diffinnir arwynebedd is-set o'r blanau gan ddefnyddio mesur Lebesgue,<ref name="Rudin">Walter Rudin (1966). ''Real and Complex Analysis'', McGraw-Hill, {{ISBN|0-07-100276-6}}.</ref> er nad yw pob is-set yn fesuradwy.<ref>Gerald Folland (1999). ''Real Analysis: modern techniques and their applications'', John Wiley & Sons, Inc., p. 20, {{ISBN|0-471-31716-0}}</ref> Yn gyffredinol, mae arwynebedd mewn mathemateg-uwch yn cael ei ystyried yn achos arbennig o gyfaint ar gyfer rhanbarthau dau-ddimensiwn.<ref name="MathWorld 3">{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Area.html|title=Area|publisher=[[Wolfram MathWorld]]|authorlink=Eric W. Weisstein|last=Weisstein, Eric W.|access-date=3 Gorffennaf 2012|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120505085753/http://mathworld.wolfram.com/Area.html|archivedate=5 Mai 2012}}<cite class="citation web cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFWeisstein,_Eric_W.">[[Eric W. Weisstein|Weisstein, Eric W.]] [http://mathworld.wolfram.com/Area.html "Area"]. [[Wolfram MathWorld]]. [https://web.archive.org/web/20120505085753/http://mathworld.wolfram.com/Area.html Archived] from the original on 5 Mai 2012<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">3 July</span> 2012</span>.</cite></ref>

Gellir diffinio arwynebedd trwy ddefnyddio [[Gwireb (mathemateg)|gwirebau]], gan ei ddiffinio fel swyddogaeth casgliad o rai ffigurau plân i'r set o [[Rhif real|rifau real]]. Gellir profi bod [[ffwythiant]] o'r fath yn bodoli.

== Unedau ==
Mae'r canlynol yn enghreifftiau o unedau arwynebedd:
:[[metr sgwâr]] = [[System Ryngwladol o Unedau]]
:[[ar]] = 100 metr sgwâr
:[[hectar]] = 10,000 metr sgwâr
:[[cilomedr sgwâr]] = 1,000,000 metr sgwâr
:megametr sgwâr = 10<sup>12</sup> metr sgwâr

Unedau traddodiadol "Ymerodol", fel y'i diffinnir eisoes o'r metr:
:[[troedfedd sgwâr]] = 0.09290304 metr sgwâr
:[[llathen sgwâr]] = 9 troedfedd sgwâr = 0.83612736 metr sgwâr
:[[erw]] = 43,560 troedfedd sgwâr = 4046.8564224 metr sgwâr
:[[milltir sgwâr]] = 640 erw = 2.5899881103 cilomedr sgwâr

== Fformiwlau defnyddiol ==
=== Arwynebeddau gwrthrychau 2-dimensiwn ===
* [[Sgwâr]] neu [[petryal|betryal]]: ''h w'' (lle ''h'' yw'r hyd, ac ''w'' yw'r lled; mewn achos sgwâr, mae ''h'' = ''w'').
* [[Cylch]]: <math>\pi r^2</math> (lle ''r'' yw'r radiws)
* [[Hirgrwn]]: <math>\pi ab</math> (lle ''a'' a ''b'' yw'r echelinau lled-fwyaf a lled-leiaf)
* Unrhyw [[polygon rheolaidd|bolygon rheolaidd]]: <math>\frac{Pa}{2}</math> (lle mae ''P'' = hyd y perimedr, ac ''a'' yw hyd apothem y polygon [y pellter o ganolbwynt y polygon i ganolbwynt un o'r ymylon])
* [[Paralelogram]]: <math>Su</math> (Y sail ''S'' yw hyd rhyw ymyl, a'r uchder ''u'' yw'r pellter rhwng y llinellau sy'n cynnwys yr ymylon sydd â hyd ''S'')
* [[Trapesoid]]: <math>\frac{(B + b)u}{2}</math> (hydoedd yr ymylon paralel yw ''B'' a ''b'', ac ''u'' yw'r pellter rhwng y llinellau sy'n cynnwys yr ymylon paralel)
* [[Triongl]]: <math>\frac{Su}{2}</math> (lle mae ''S'' yn unrhyw ymyl, ac ''u'' yw'r pellter rhwng y llinell sy'n cynnwys ''S'' i gornel arall y triongl). Gellir defnyddio'r fforwla hwn os wybyddir yr uchder ''u''. Os gwybyddir hyd y tri ymyl, yna gellir defnyddio'r fformwla canlynol: <math>\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math> (lle ''a'', ''b'', ''c'' yw hydoedd yr ymylon, ac <math>s = \frac{a + b + c}{2}</math> yw hanner hyd ei berimedr)
* Mae'r arwynebedd rhwng [[graff]] dwy ffwythiant yn hafal i [[integru|integreiddad]] un o [[ffwythiant|ffwythiannau]] ''f''(''x''), tynnu integreiddiad y ffwythiant arall, ''g''(''x'').
* Yr arwynebedd a amgylchynir gan ffwythiant ''r'' = ''r''(θ) â mynegwyd [[cyfesurynnau polar]] yw <math> {1 \over 2} \int_0^{2\pi} r^2 \, d\theta </math>.
* Rhoddir yr arwynebedd a amgylchynir gan gromlin barametraidd <math>\vec u(t) = (x(t), y(t)) </math> â diweddbwyntiau <math> \vec u(t_0) = \vec u(t_1) </math> gan integreiddiad llwybr
::<math> \oint_{t_0}^{t_1} x \dot y \, dt  = - \oint_{t_0}^{t_1} y \dot x \, dt  =  {1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} (x \dot y - y \dot x) \, dt </math>

:neu cyfernod-''z''

::<math>{1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} \vec u \times \dot{\vec u} \, dt</math>

=== Arwynebedd arwyneb siapiau 3-dimensiwn ===
* [[Ciwb]]: <math>6h^2</math>, lle ''h'' yw hyd unrhyw ymyl
* Bocs petryalog: <math>2 (h w + h u + w u)</math>, lle dynoda ''h'', ''w'', ac ''u'' hyd, lled, ac uchder y bocs
* [[Sffêr]]: <math>4 \pi  r^2</math>, π yw gymhareb hyd cylchyn a diamedr [[cylch]], 3.14159..., ac ''r'' yw radiws y sffêr
* [[Sylindr]]: <math>2\pi r (u + r)</math>, lle ''r'' yw radiws y sail, ac ''u'' yw'r uchder
* [[Côn]]: <math>\pi  r (r + \sqrt{r^2 + u^2})</math>, lle ''r'' yw radiws y sail, ac ''u'' yw'r uchder.

== Diffiniad ffurfiol ==
Dull o ddiffinio'r hyn a olygir wrth "arwynebedd" yw trwy [[Gwireb (mathemateg)|wirebau]]. Gellir diffinio "arwynebedd" fel ffwythiant o gasgliad M o fathau arbennig o ffigurau [[plân]]  (a elwir yn setiau mesuradwy) i'r set o rifau real, sy'n bodloni'r priodweddau canlynol:<ref name="Apostol">{{Cite book|last=Apostol|first=Tom|year=1967|title=Calculus|volume=I: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra|pages=58–59|isbn=9780471000051}}</ref>

* Ar gyfer pob ''S'' yn ''M'', ''a''(''S'') ≥ 0.
* Os yw ''S'' a ''T'' yn ''M'' yna mae ''S'' ∪ ''T'' a ''S'' ∩ ''T,'' a ''hefyd'' ''a(S''∪''T)'' = ''a(S)'' + ''a'' ''(T)'' - ''mae'' ''(S''∩''T).''
* Os yw ''S'' a ''T'' yn ''M'' gyda ''S'' ⊆ ''T'' yna mae ''T'' - ''S'' yn ''M'' ac ''a''( ''T''-''S'' ) = ''a''(''T'') - ''a''(''S'').
* Os yw set ''S'' yn ''M'' ac ''S'' yn gyfath â ''T'' yna mae ''T'' hefyd yn ''M'' ac ''a''(''S'') = ''a''(''T'').
* Mae pob [[petryal]] ''R'' yn ''M.'' Os oes gan y petryal hyd ''h'' a lled o ''k'' yna ''a''(''R'') = ''hk''.
* Gadewch i ''Q'' fod yn set wedi'i hamgáu rhwng dau ranbarth ''S'' a ''T.'' Mae rhanbarth cam (''step region'') yn cael ei ffurfio o undeb meidraidd o betryalau cyfagos sy'n gorffwys ar sylfaen gyffredin, h.y. ''S'' ⊆ ''Q'' ⊆ ''T.'' Os oes rhif unigryw ''c'' fel bod ''a''(''S'') ≤ c ≤ ''a''(''T'') ar gyfer pob rhanbarth cam ''S'' a ''T'' o'r math hwn, yna ''a''(''Q'') = ''c''.

Gellir profi, felly, bod ffwythiant arwynebedd o'r fath yn bodoli.<ref name="Moise">{{Cite book|last=Moise|first=Edwin|title=Elementary Geometry from an Advanced Standpoint|url=https://archive.org/details/elementarygeomet0000mois|access-date=15 Gorffennaf 2012|year=1963|publisher=Addison-Wesley Pub. Co.}}</ref>

== Unedau ==
[[Delwedd:SquareMeterQuadrat.JPG|alt=A square made of PVC pipe on grass|de|bawd| Pedadrat metr sgwâr wedi'i wneud o bibell PVC.]]
Mae gan bob [[uned mesur hyd|uned o hyd]] uned arwynebedd gyfatebol, sef arwynebedd sgwâr â'r hyd ochr penodol, fel y dywedwyd ar ddechrau'r erthygl hon. Felly gellir mesur arwynebedd mewn [[metr sgwâr|metrau sgwâr]] (m<sup>2</sup>), centimetrau sgwâr (cm<sup>2</sup> ), milimetrau sgwâr (mm<sup>2</sup> ), [[Cilometr sgwâr|cilometrau sgwâr]] (km<sup>2</sup> ), troedfeddi sgwâr (tr<sup>2</sup> ), milltiroedd sgwâr (mi<sup>2</sup>), ac ati.<ref name="BIPM2006Ch5">{{Cite journal|last=Bureau international des poids et mesures|year=2006|url=http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf|title=The International System of Units (SI)|series=8th ed.|access-date=2008-02-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20131105051930/http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf|archive-date=2013-11-05}} Chapter 5.</ref> Yn [[algebra]]aidd, gellir meddwl am yr unedau hyn fel [[Sgwario|sgwariau'r]] unedau hyd cyfatebol.

Uned arwynebedd SI yw'r 'fetr sgwâr', sy'n cael ei ystyried yn uned sy'n deillio o SI.<ref name="B 2">{{Cite web|publisher=[[Bureau International des Poids et Mesures]]|url=http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/|title=Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960)|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120728105135/http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/|archivedate=2012-07-28|access-date=15 Gorffennaf 2012}}<cite class="citation web cs1" data-ve-ignore="true">[http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/ "Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960)"]. [[Bureau International des Poids et Mesures]]. [https://web.archive.org/web/20120728105135/http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/ Archived] from the original on 2012-07-28<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">15 July</span> 2012</span>.</cite></ref>

=== Trawsnewid ===
[[Delwedd:Area_conversion_-_square_mm_in_a_square_cm.png|alt=A diagram showing the conversion factor between different areas|de|bawd| Er bod 10 mm mewn 1 cm, ceir 100 mm<sup>2</sup> mewn 1 cm<sup>2</sup> .]]
Byddai cyfrifo arwynebedd sgwâr y mae ei hyd a'i led yn 1 fetr fel a ganlyn:

1 metr × 1 metr = 1&nbsp;m<sup>2</sup>

ac felly, byddai gan [[Petryal|betryal]] â gwahanol ochrau (dyweder hyd 3 metr a lled 2 fetr) arwynebedd mewn unedau sgwâr y gellir ei gyfrif fel:

3 metr × 2 fetr = 6&nbsp;m <sup>2</sup> . Mae hyn gyfwerth â 6 miliwn milimetr sgwâr. Ymhlith y trawsnewidadau ymarferol eraill y mae:

* 1 cilomedr sgwâr = 1,000,000 metr sgwâr
* 1 metr sgwâr = 10,000 centimetr sgwâr = 1,000,000 milimetr sgwâr
* 1 centimetr sgwâr = 100 milimetr sgwâr.

==== Unedau nad ydynt yn fetrig ====
Mewn unedau nad ydynt yn fetrig, y trawsnewid rhwng dwy uned sgwâr yw [[Sgwario|sgwâr]] y trawsnewid rhwng yr unedau hyd cyfatebol.

: 1 [[troedfedd]] = 12 [[modfedd]],

ac mae'r berthynas rhwng troedfeddi sgwâr a modfeddi sgwâr yn

: 1 troedfedd sgwâr = 144 modfedd sgwâr,

lle mae 144 = 12<sup>2</sup> = 12 × 12. Yn yr un modd:

* 1 llathen sgwâr = [[Naw|9]] troedfedd sgwâr
* 1 filltir sgwâr = 3,097,600 llath sgwâr = 27,878,400 troedfedd sgwâr

Yn ogystal, mae ffactorau trawsnewidiad eraill yn cynnwys:

* 1 fodfedd sgwâr = 6.4516 centimetr sgwâr
* 1 troedfedd sgwâr = 0.092903 04 metr sgwâr
* 1 llathen sgwâr = 0.836127 36 metr sgwâr
* 1 filltir sgwâr = 2.589988 110 336 cilomedr sgwâr

=== Unedau eraill gan gynnwys unedau hanesyddol ===
Mae yna sawl uned gyffredin arall ar gyfer arwynebedd. Yr [[Hectr|âr]] oedd yr uned wreiddiol o ran arwynebedd yn y [[system fetrig]], gyda'r gair yn golygu tir wedi'i aredig. Roedd:

* 1 âr = 100 metr sgwâr

Er bod yr âr wedi peidio a bodoli o ddydd i ddydd, mae'r [[Hectr|hectar]] yn dal i gael ei ddefnyddio'n gyffredin i fesur tir:<ref name="BIPM2006Ch5 2">{{Cite journal|last=Bureau international des poids et mesures|year=2006|url=http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf|title=The International System of Units (SI)|series=8th ed.|access-date=2008-02-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20131105051930/http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf|archive-date=2013-11-05}}<cite class="citation journal cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFBureau_international_des_poids_et_mesures2006">Bureau international des poids et mesures (2006). [http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf "The International System of Units (SI)"] <span class="cs1-format">(PDF)</span>. 8th ed. [https://web.archive.org/web/20131105051930/http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf Archived] <span class="cs1-format">(PDF)</span> from the original on 2013-11-05<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">2008-02-13</span></span>.</cite><span data-ve-ignore="true"> </span><span class="cs1-hidden-error error citation-comment" data-ve-ignore="true">Cite journal requires <code class="cs1-code">&#x7C;journal=</code> ([[Cymorth:CS1 errors|help]])</span>
Chapter 5.</ref>

* 1 hectar = 100 âr = 10,000 metr sgwâr = 0.01 cilomedr sgwâr

Defnyddir yr [[erw]] yn gyffredin hefyd i fesur arwynebedd tir, lle mae

* 1 erw = 4,840 llathen sgwâr = 43,560 troedfedd sgwâr.

Mae erw oddeutu 40% o hectar.

Ar y raddfa atomig, mesurir arwynebedd mewn unedau '<nowiki><i>barn</i></nowiki>', fel:<ref name="BIPM2006Ch5">{{Cite journal|last=Bureau international des poids et mesures|year=2006|url=http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf|title=The International System of Units (SI)|series=8th ed.|access-date=2008-02-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20131105051930/http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf|archive-date=2013-11-05}}<cite class="citation journal cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFBureau_international_des_poids_et_mesures2006">Bureau international des poids et mesures (2006). [http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf "The International System of Units (SI)"] <span class="cs1-format">(PDF)</span>. 8th ed. [https://web.archive.org/web/20131105051930/http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf Archived] <span class="cs1-format">(PDF)</span> from the original on 2013-11-05<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">2008-02-13</span></span>.</cite><span data-ve-ignore="true"> </span><span class="cs1-hidden-error error citation-comment" data-ve-ignore="true">Cite journal requires <code class="cs1-code">&#x7C;journal=</code> ([[Cymorth:CS1 errors|help]])</span>
Chapter 5.</ref>

* 1 '''barn''<nowiki/>' = 10 <sup>−28</sup> metr sgwâr.

Defnyddir y mesur hwn yn gyffredin wrth ddisgrifio maes trawsdoriadol rhyngweithio mewn [[ffiseg niwclear]].<ref name="BIPM2006Ch5 3">{{Cite journal|last=Bureau international des poids et mesures|year=2006|url=http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf|title=The International System of Units (SI)|series=8th ed.|access-date=2008-02-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20131105051930/http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf|archive-date=2013-11-05}}<cite class="citation journal cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFBureau_international_des_poids_et_mesures2006">Bureau international des poids et mesures (2006). [http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf "The International System of Units (SI)"] <span class="cs1-format">(PDF)</span>. 8th ed. [https://web.archive.org/web/20131105051930/http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf Archived] <span class="cs1-format">(PDF)</span> from the original on 2013-11-05<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">2008-02-13</span></span>.</cite><span data-ve-ignore="true"> </span><span class="cs1-hidden-error error citation-comment" data-ve-ignore="true">Cite journal requires <code class="cs1-code">&#x7C;journal=</code> ([[Cymorth:CS1 errors|help]])</span>
Chapter 5.</ref>

Yn [[India]] ,

* 20 dhurki = 1 dhur
* 20 dhur = 1 khatha
* 20 khata = 1 bigha
* 32 khata = 1 erw

== Hanes ==

=== Arwynebedd y cylch ===
Yn y [[5g CC]], Hippocrates of Chios oedd y cyntaf i ddangos bod arwynebedd disg (sef y rhanbarth wedi'i amgáu gan gylch) yn gymesur â sgwâr ei [[Diamedr|ddiamedr]],<ref name="heath">{{Citation|last=Heath|first=Thomas L.|title=A Manual of Greek Mathematics|url=https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|pages=121–132|year=2003|archive-url=https://web.archive.org/web/20160501215852/https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-43231-1|archive-date=2016-05-01|author-link=Thomas Little Heath}}</ref> ond ni nododd gysondeb y cymesuredd (''constant of proportionality''). Canfu Eudoxus o Cnidus, hefyd yn y 5g CC, fod arwynebedd disg yn gymesur â'i radiws sgwâr.<ref>{{Cite book|url=https://archive.org/details/singlevariableca00stew/page/3|title=Single variable calculus early transcendentals.|last=Stewart|first=James|publisher=Brook/Cole|year=2003|isbn=978-0-534-39330-4|edition=5th.|location=Toronto ON|page=[https://archive.org/details/singlevariableca00stew/page/3 3]|quote=However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion to prove the familiar formula for the area of a circle: <math>A= \pi r^2.</math>}}</ref>

Yn dilyn hynny, deliodd [[Yr Elfennau|''Llyfr I o Elfennau'' Euclid]] â hafaledd arwynebedd rhwng ffigurau dau-ddimensiwn. Defnyddiodd y mathemategydd [[Archimedes]] offer [[Geometreg Euclidaidd|geometreg Ewclidaidd]] i ddangos bod yr arwynebedd y tu mewn i gylch yn hafal i arwynebedd [[Triongl ongl sgwâr|t]][[Triongl ongl sgwâr|riongl ongl sgwâr]] sydd a hyd ei waelod yn hafal i [[Cylchedd|gylchedd]] y cylch, ac y mae ei uchder yn hafal i [[radiws]] y cylch, yn ei lyfr ''Mesur Cylch''. (Y cylchedd yw 2{{pi}}''r'', ac mae arwynebedd triongl yn hanner y sylfaen wedi'i luosi gyda'i uchder, sef {{pi}}''r''<sup>2</sup> ar gyfer y ddisg.) [[Brasamcan|Amcangyfrifodd]] Archimedes gwerth {{pi}} gyda'i ddull dyblu, lle arysgrifiodd driongl rheolaidd mewn cylch a nodi ei arwynebedd, yna dyblodd nifer yr ochrau i roi [[Hecsagon|hecsagon rheolaidd]], yna dyblu nifer yr ochrau dro ar ôl tro wrth i ardal y polygon agosáu ac yn agosach at arwynebedd y cylch (a gwnaeth yr un peth â pholygonau wedi'u hamgylchu).

Profodd y gwyddonydd o'r Swistir Johann Heinrich Lambert ym 1761 fod [[Pi (mathemateg)|π]], cymhareb arwynebedd cylch â'i radiws sgwâr, yn afresymol ([[rhif anghymarebol]]), sy'n golygu nad yw'n hafal i [[Cyniferydd|gyniferydd]] unrhyw ddau rif cyfan.<ref name="Arndt">{{Cite book|last=Arndt|first=Jörg|last2=Haene l|first2=Christoph|title=Pi Unleashed|publisher=Springer-Verlag|year=2006|isbn=978-3-540-66572-4 <!--isbn only volume 1-->|url=https://books.google.com/books?id=QwwcmweJCDQC|access-date=2013-06-05}} English translation by Catriona and David Lischka.</ref> Ym 1794 profodd y mathemategydd Ffrengig Adrien-Marie Legendre fod π<sup>2</sup> yn afresymol; mae hyn hefyd yn profi bod π yn afresymol.<ref>{{Citation|last=Eves|first=Howard|title=An Introduction to the History of Mathematics|page=121|year=1990|edition=6th|publisher=Saunders|isbn=978-0-03-029558-4}}</ref> Ym 1882, profodd mathemategydd Almaeneg Ferdinand von Lindemann fod π yn [[Rhif trosgynnol|drosgynnol]], gan gadarnhau rhagdybiaeth a wnaed gan Legendre ac Euler.<ref name="Arndt" />

=== Ardwynebedd triongl ===
Daeth [[Hero o Alexandria|Heron (neu Hero) o Alexandria]] o hyd i'r hyn a elwir yn fformiwla Heron ar gyfer arwynebedd triongl o ran ei ochrau, a gellir gweld prawf yn ei lyfr, ''Metrica'', a ysgrifennwyd tua 60 CE. Awgrymwyd bod [[Archimedes]]  yn gwybod y fformiwla dros ddwy ganrif yn gynharach,<ref>{{Cite book|last=Heath, Thomas L.|title=A History of Greek Mathematics (Vol II)|publisher=Oxford University Press|year=1921|pages=321–323}}</ref> a ''chan'' fod Metrica yn gasgliad o'r wybodaeth fathemategol sydd ar gael yn yr hen fyd, mae'n bosibl bod y fformiwla yn rhagddyddio'r cyfeiriad a roddir yn y gwaith hwnnw.<ref>{{MathWorld|title=Heron's Formula}}</ref>

Yn 499 mynegodd Aryabhata, [[mathemategydd]] a seryddwr o oes glasurol mathemateg Indiaidd, arwynebedd triongl fel hanner y sylfaen yn fwy na'r uchder yn yr ''Aryabhatiya'' (adran 2.6).

=== Arwynebedd pedrochr ===
Yn y [[7g]], [[Brahmagupta|datblygodd Brahmagupta]] fformiwla, a elwir bellach yn fformiwla Brahmagupta, ar gyfer arwynebedd pedrochrog cylchol ([[pedrochr]] wedi'i arysgrifio mewn cylch) o ran ei ochrau. Yn 1842 daeth mathemategwyr yr Almaen Carl Anton Bretschneider a Karl Georg Christian von Staudt o hyd i fformiwla, a elwir yn fformiwla Bretschneider, ar gyfer arwynebedd unrhyw pedrochr.

=== Arwynebedd y polygon cyffredinol ===
Caniataodd datblygiad y [[System gyfesurynnol Gartesaidd|cyfesurynnau Cartesaidd]] gan [[René Descartes]] yn yr [[17g]] i [[Carl Friedrich Gauss]],  ddwy ganrif yn ddiweddarach i ddatblygu fformiwla'r syrfëwr ar gyfer arwynebedd unrhyw bolygon â lleoliadau [[Vertex (geometreg)|fertig]].

=== Arwynebedd a bennir gan ddefnyddio calcwlws ===
Roedd datblygu [[Integryn|calcwlws integrol]] ar ddiwedd yr 17g yn darparu offer y gellid eu defnyddio wedi hynny ar gyfer cyfrifo arwynebedd mwy cymhleth, megis arwynebedd [[Elíps|elips]] ac arwyneb gwahanol wrthrychau tri dimensiwn crwm.

== Fformiwlâu arwynebedd ==

=== Fformiwlâu polygon ===
Ar gyfer polygon (syml ) nad yw'n hunan-groestori, mae'r [[System gyfesurynnol Gartesaidd|cyfesurynnau Gartesaidd]] <math>(x_i, y_i)</math> ''(I'' = 0, 1, ..., ''n'' -1) lle mae'r [[Vertex (geometreg)|fertigau]] ''n'' yn hysbys, mae'r arwynebedd yn cael ei roi gan y fformiwla syrfëwr hwn:<ref>{{Cite web|url=http://www.seas.upenn.edu/~sys502/extra_materials/Polygon%20Area%20and%20Centroid.pdf|title=Calculating The Area And Centroid Of A Polygon|last=Bourke|first=Paul|date=July 1988|access-date=6 Feb 2013|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120916104133/http://www.seas.upenn.edu/~sys502/extra_materials/Polygon%20Area%20and%20Centroid.pdf|archivedate=2012-09-16}}
</ref>

: <math>A = \frac{1}{2} \Biggl\vert \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) \Biggr\vert</math>

a pan fo ''i'' = ''n'' -1, yna mae ''i''+1 yn  cael ei fynegi fel[[Rhifyddeg fodiwlaidd|modwlws]] ''n'' ac felly mae'n cyfeirio at 0.

==== Petryalau ====
[[Delwedd:RectangleLengthWidth.svg|alt=A rectangle with length and width labelled|de|bawd| Mae arwynebedd y petryal hwn yn&nbsp;{{mvar|lw}}.]]
Y fformiwla arwynebedd fwyaf sylfaenol yw'r fformiwla ar gyfer arwynebedd [[petryal]]. O ystyried petryal gyda hyd {{mvar|l}} a lled ''w'', y fformiwla ar gyfer yr arwynebedd yw:<ref name="AF 2">{{Cite web|url=http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm|title=Area Formulas|publisher=Math.com|access-date=2 Gorffennaf 2012|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120702135710/http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm|archivedate=2 Gorffennaf 2012}}<cite class="citation web cs1" data-ve-ignore="true">[http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm "Area Formulas"]. Math.com. [https://web.archive.org/web/20120702135710/http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm Archived] from the original on 2 Gorffennaf 2012<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">2 July</span> 2012</span>.</cite></ref><ref>{{Cite web|url=http://proofwiki.org/wiki/Area_of_Parallelogram/Rectangle|title=Area of Parallelogram/Rectangle|publisher=ProofWiki.org|access-date=29 Mai 2016|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150620062553/https://proofwiki.org/wiki/Area_of_Parallelogram/Rectangle|archivedate=20 Mehefin 2015}}</ref>

: {{Bigmath|''A'' {{=}} ''lw''}} &nbsp;(petryal).

Hynny yw, arwynebedd y petryal yw'r hyd wedi'i luosi â'r lled. Fel achos arbennig, fel {{math|''l'' {{=}} ''w''}} yn achos sgwâr, rhoddir arwynebedd sgwâr â hyd ochr ''s'' yn y fformiwla:<ref name="MathWorld 3">{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Area.html|title=Area|publisher=[[Wolfram MathWorld]]|authorlink=Eric W. Weisstein|last=Weisstein, Eric W.|access-date=3 Gorffennaf 2012|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120505085753/http://mathworld.wolfram.com/Area.html|archivedate=5 Mai 2012}}<cite class="citation web cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFWeisstein,_Eric_W.">[[Eric W. Weisstein|Weisstein, Eric W.]] [http://mathworld.wolfram.com/Area.html "Area"]. [[Wolfram MathWorld]]. [https://web.archive.org/web/20120505085753/http://mathworld.wolfram.com/Area.html Archived] from the original on 5 Mai 2012<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">3 July</span> 2012</span>.</cite></ref><ref name="AF 2">{{Cite web|url=http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm|title=Area Formulas|publisher=Math.com|access-date=2 Gorffennaf 2012|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120702135710/http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm|archivedate=2 Gorffennaf 2012}}<cite class="citation web cs1" data-ve-ignore="true">[http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm "Area Formulas"]. Math.com. [https://web.archive.org/web/20120702135710/http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm Archived] from the original on 2 Gorffennaf 2012<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">2 July</span> 2012</span>.</cite></ref><ref>{{Cite web|url=http://proofwiki.org/wiki/Area_of_Square|title=Area of Square|publisher=ProofWiki.org|access-date=29 Mai 2016|archiveurl=https://web.archive.org/web/20171104234553/https://proofwiki.org/wiki/Area_of_Square|archivedate=4 Tachwedd 2017}}</ref>

: {{Bigmath|''A'' {{=}} ''s''<sup>2</sup>}} &nbsp;(sgwâr).

Mae'r fformiwla ar gyfer arwynebedd petryal yn dilyn yn uniongyrchol o briodweddau sylfaenol arwynebedd, ac weithiau fe'i cymerir fel [[diffiniad]] neu [[Gwireb|wireb]]. Ar y llaw arall, os datblygir y [[geometreg]] cyn y [[rhifyddeg]], gellir defnyddio'r fformiwla hon i ddiffinio [[lluosi]] [[Rhif real|rhifau real]].

=== Rhestr o fformiwlâu ===

{| class="wikitable"
|+Rhestr o fformiwlâu cyffredinol ar gyfer arwynebedd:
!Siap
!Fformiwla
!Newidynnau
|-
|[[Petryal]]
|<math>A=ab</math>
|[[File:Rechteck-ab.svg|120px]]
|-
|[[Triongl]]
|<math>A=\frac12bh \,\!</math>
|[[File:Dreieck-allg-bh.svg|100px]]
|-
|[[Triongl]]
|<math>A=\frac12 a b \sin(\gamma)\,\!</math>
|[[File:Dreieck-allg-w.svg|100px]]
|-
|[[Triongl]]<br /><br />
(Fformiwla Heron)
|<math>A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\,\!</math>
|[[File:Dreieck-allg.svg|100x100px]] <math> s =\tfrac 1 2 (a+b+c)</math>
|-
|[[Triongl isosgeles]]
|<math>A=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-c^2}</math>
|[[File:Dreieck-gsch.svg|80px]]
|-
|[[Triongl|Triongl rheolaidd]]<br /><br />
([[Triongl hafalochrog|equilateral triangle]])
|<math>A=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\,\!</math>
||[[File:Dreieck-gseit.svg|100px]]
|-
|[[Rhombws]]/[[Barcut (geometreg)|Barcud]]
|<math>A=\frac12de</math>
|[[File:Raute-de.svg|160px]]
|-
|[[Paralelogram]]
|<math>A=ah_a\,\!</math>
|[[File:Parallelog-aha.svg|160px]]
|-
|[[Trapesiwm]]
|<math>A=\frac{(a+c)h}{2} \,\!</math>
|[[File:Trapez-abcdh.svg|150px]]
|-
|[[Hecsagon|Hecsagon rheolaidd]]
|<math>A=\frac{3}{2} \sqrt{3}a^2\,\!</math>
|[[File:Hexagon-a.svg|100px]]
|-
|[[Octagon|Octagon rheolaidd]] 
|<math>A=2(1+\sqrt{2})a^2\,\!</math>
|[[File:Oktagon-a.svg|120px]]
|-
|[[Polygon rheolaidd]]<br /><br />
(<math>n</math> sides)
|<math>A=n\frac{ar}{2}=\frac{pr}{2}</math>

<math>\quad =\tfrac 1 4 na^2\cot(\tfrac \pi n)</math>
<math>\quad = nr^2 \tan(\tfrac \pi n)</math>
<math>\quad =\tfrac{1}{4n}p^2\cot(\tfrac \pi n)</math>
<math>\quad =\tfrac{1}{2}nR^2 \sin(\tfrac{2\pi}{n}) \,\!</math>
|[[Delwedd:Oktagon-a-r-R.svg|chwith|150x150px]]
<math>p=na\ </math> ([[Perimedr]])
<math>r=\tfrac a 2 \cot(\tfrac \pi n),</math>
<math>\tfrac a 2= r\tan(\tfrac \pi n)=R\sin(\tfrac \pi n)</math>
<math>r:</math> [[Mewngylch ac allgylch|mewngylch]] radiws
<math>R:</math> amgylch
|-
|[[Cylch]]
|<math>A=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4}</math>

(<math> d=2r: </math> [[Diamedr]])
|[[fILE:Kreis-r-tab.svg|100px]]
|-
|Sector cylch
|<math>A=\frac{\theta}{2}r^2=\frac{L \cdot r}{2}\,\!</math>
|[[File:Circle arc.svg|120px]]
|-
|[[Elíps]]
|<math>A=\pi ab \,\!</math>
|[[File:Ellipse-ab-tab.svg|120px]]
|-
|[[Integryn]]
|<math>A=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x ,\ f(x)\ge 0</math>
| [[File:Vase-f-fx-tab.svg|hochkant=0.2]]
|- 
|
|'''Arwynebedd yr arwyneb'''
|
|-
|[[Sffêr]]<br /><br />
|<math>A = 4\pi r^2 = \pi d^2</math>
| [[File:Kugel-1-tab.svg|100px]]
|-
|[[Ciwboid]]
|<math>A = 2(ab+ac+bc)</math>
| [[File:Quader-1-tab.svg|150px]]
|-
|[[Silindr]]<br /><br />
(incl. bottom and top)
|<math>A = 2 \pi r (r + h)</math>
| [[File:Zylinder-1-tab.svg|120px]]
|-
|[[Côn]]<br /><br />
(incl. bottom)
|<math>A = \pi r (r + \sqrt{r^2+h^2})</math>
| [[File:Kegel-1-tab.svg|120px]]
|-
|Torws
|<math>A = 4\pi^2 \cdot R \cdot r</math>
| [[File:Torus-1-tab.svg|200px]]
|-
|Arwynebedd y cylchdro
|<math>A = 2\pi\int_a^b\! f(x)\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\mathrm{d}x</math><br /><br />
(cylchdro o amgylch echelin-x )
| [[File:Vase-1-tab.svg|220px]]
|-
|}
Mae'r cyfrifiadau uchod yn dangos sut i ddod o hyd i arwynebedd llawer o [[Siâp|siapiau]] cyffredin.

=== Perthynas yr arwynebedd â'r perimedr ===
Mae'r anghydraddoldeb isoperimetrig yn nodi, ar gyfer cromlin gaeedig o hyd ''L'' (felly mae gan y rhanbarth y mae'n ei amgáu [[Perimedr|berimedr]] ''L'' ) ac ar gyfer arwynebedd ''A'' y rhanbarth y mae'n ei amgáu,

: <math>4\pi A \le L^2,</math>

ac mae cydraddoldeb yn dal [[os a dim ond os]] yw'r gromlin yn [[Cylch|gylch]]. Felly, y cylch sydd â'r arwynebedd mwyaf o unrhyw ffigur caeedig gyda pherimedr penodol.

==Gweler hefyd==
* [[Rhestr o wledydd gydag arwynebedd llai na Chymru]]

== Cyfeiriadau ==
{{cyfeiriadau}}

{{Wiciadur|{{lc:{{PAGENAME}}}}}}

[[Categori:CS1 errors: missing periodical]]
[[Categori:Geometreg]]
[[Categori:Mesuriad]]
[[Categori:Unedau SI ychwanegol]]