Gweld cod am Damcaniaeth rhifau

{{Pethau| fetchwikidata=ALL | suppressfields= math2}}
Cangen o [[mathemateg bur|fathemateg bur]] yw '''damcaniaeth rhifau''' (neu '''theori rhif'''), sef yr astudiaeth o briodweddau rhifau. [[Cyfanrif]]au yw canolbwynt y maes, ond fe gyfyd problemau ehangach wrth eu hastudio, sy'n cysylltu damcaniaeth rhifau â sawl cangen arall o [[fathemateg]]. Dywedodd y mathemategydd Carl Friedrich Gauss (1777-1855), "Mathemateg yw Brenhines y gwyddorau - a theori rhif yw Brenhines mathemateg."{{sfn|Long|1972|p=1}} Mae maes damcaniaethwyr rhif yn cynnwys [[Rhif cysefin|rhifau cysefin]], nodweddion gwrthrychau a wnaed o [[Rhif cymarebol|rifau cymarebol]] a chyfanrifau alegbraidd.

Ni ddylid cymysgu damcaniaeth rhifau a [[rhifyddeg]] elfennol, sef dulliau o [[adio]], [[tynnu]], a [[lluosi]]. Hyd at ddechrau'r [[20g]] y term a ddefnyddiwyd am y ddamcaniaeth rhifau oedd "rhifyddeg". 
[[Delwedd:Spirale_Ulam_150.jpg|bawd|250x250px| Mae dosbarthiad [[Rhif cysefin|rhifau cysefin]] yn bwynt astudio canolog mewn theori rhif. Mae'r tsbeiral Ulam hwn yn ei ddangos, gan awgrymu'r [[Annibyniaeth (tebygolrwydd)|annibyniaeth]] amodol rhwng bod yn gysefin a bod yn werth o fewn rhai polynomialau cwadratig penodol.]]
Yr hen derm am theori rhif yw ''rhifyddeg''. Erbyn dechrau'r [[20g]], roedd "theori rhif" wedi disodli'r term hwn. Defnyddir y gair "[[rhifyddeg]]" gan y cyhoedd i olygu "cyfrifiadau elfennol"; mae hefyd wedi caffael ystyron eraill mewn [[Rhesymeg mathemateg|rhesymeg fathemategol]], fel gyda ''rhifyddeg Peano'', a [[Cyfrifiadureg|gwyddoniaeth gyfrifiadurol]], ''rhifyddeg pwynt arnofio.'' Adferwyd y defnydd o'r term ''rhifyddeg'' ar gyfer ''theori rhif'' am ychydig yn ail hanner yr 20g, yn rhannol oherwydd dylanwad Ffrainc. 

== Hanes ==

=== Gwreiddiau ===
[[Delwedd:Plimpton_322.jpg|de|bawd| Tabled Plimpton 322]]
Mae'r darganfyddiad hanesyddol cynharaf o natur rifyddeg yn ddarn o fwrdd: mae'r dabled clai toredig [[Plimpton 322]] (Larsa, Mesopotamia, ca. 1800 CC) yn cynnwys rhestr o "[[Triawdau Pythagoraidd|Driawdau Pythagoraidd]]", hynny yw, cyfanrifau <math>(a,b,c)</math> fel bod <math>a^2+b^2=c^2</math>. Mae'r triawdau'n ormod ac yn rhy fawr i'w cael gan rym yn unig. Mae'r pennawd dros y golofn gyntaf yn darllen: "Mae ''Takiltum'' y groeslin sydd wedi'i dynnu fel bod y lled.." <ref>{{Harvard citation no brackets|Neugebauer & Sachs|1945|p=40}}. The term ''takiltum'' is problematic. Robson prefers the rendering "The holding-square of the diagonal from which 1 is torn out, so that the short side comes up...".{{Harvard citation no brackets|Robson|2001|p=192}}</ref>

Mae cynllun y tabl yn awgrymu <ref>{{Harvard citation no brackets|Robson|2001|p=189}}. Other sources give the modern formula <math>(p^2-q^2,2pq,p^2+q^2)</math>. Van der Waerden gives both the modern formula and what amounts to the form preferred by Robson.{{Harvard citation|van der Waerden|1961|p=79}}</ref> iddo gael ei adeiladu trwy'r hyn sy'n cyfateb, mewn iaith fodern, i'r [[unfathiant]].

: <math>\left(\frac{1}{2} \left(x - \frac{1}{x}\right)\right)^2 + 1 = \left(\frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x} \right)\right)^2,</math>

sy'n digwydd yn naturiol o fewn ymarferion yr [[Acadeg|Hen Fabiloniaid.]]{{Sfn|van der Waerden|1961|p=184}} Pe bai rhyw ddull arall yn cael ei ddefnyddio,<ref>Neugebauer {{Harvard citation|Neugebauer|1969}} discusses the table in detail and mentions in passing Euclid's method in modern notation {{Harvard citation|Neugebauer|1969|p=39}}.</ref> adeiladwyd y triawd yn gyntaf ac yna eu hail-osod gan <math>c/a</math>, yn ôl pob tebyg at ddefnydd gwirioneddol fel "tabl", er enghraifft, gyda golwg ar ei gymwyso mewn modd ymarferol.

Nid yw'n hysbys pa fath o gymwysiadau. Dim ond yn ddiweddarach y daeth seryddiaeth Babilonaidd. Awgrymwyd yn hytrach bod y tabl yn ffynhonnell o enghreifftiau rhifiadol ar gyfer problemau ysgol.{{Sfn|Friberg|1981|p=302}} 

Er bod theori rhif Babilonaidd yn cynnwys y darn sengl trawiadol hwn, roedd algebra Babilonaidd (yn yr ystyr ysgol uwchradd o " [[algebra]] ") wedi'i ddatblygu'n eithriadol o dda.{{Sfn|van der Waerden|1961|p=43}}  Nodir o fewn ffynonellau Neoplatonig hwyr bod [[Pythagoras]] wedi dysgu mathemateg gan y Babiloniaid. Mae ffynonellau llawer cynharach yn nodi bod [[Thales]] a [[Pythagoras]] wedi astudio yn [[yr Aifft]]. .

Siaradodd y traddodiad Pythagoreaidd hefyd am yr hyn a elwir yn niferoedd polygonal neu ffigurol (''figurate numbers'').{{Sfn|Heath|1921|p=76}} Er bod [[Rhif sgwâr|rhifau sgwâr]], [[Rhif ciwb|rhifau ciwbig]], ac ati, bellach yn cael eu hystyried yn fwy naturiol na rhifau trionglog, rhifau pentagonal, ac ati, byddai astudio symiau rhifau trionglog a phentagonol yn cael ei gymeradwyo yn y cyfnod modern cynnar ([[17g]] i dechrau'r [[19g]]).

Ni wyddom am unrhyw ddeunydd rhifyddol amlwg yn ffynonellau hynafol yr Aifft neu [[Veda]], er bod rhywfaint o algebra ym mhob un. Mae'r theorem gweddill Tsieineaidd yn ymddangos fel ymarfer <ref>''Sunzi Suanjing'', Chapter 3, Problem 26. This can be found in {{Harvard citation no brackets|Lam|Ang|2004|pp=219–20}}, which contains a full translation of the ''Suan Ching'' (based on {{Harvard citation no brackets|Qian|1963}}). See also the discussion in {{Harvard citation no brackets|Lam|Ang|2004|pp=138–140}}.</ref> yn ''Sunzi Suanjing'' (3g, 4g neu 5g).<ref name="YongSe">The date of the text has been narrowed down to 220–420 CE (Yan Dunjie) or 280–473 CE (Wang Ling) through internal evidence (= taxation systems assumed in the text). See {{Harvard citation no brackets|Lam|Ang|2004|pp=27–28}}.</ref>

Mae rhywfaint o gyfriniaeth rifiadol hefyd mewn mathemateg Tsieineaidd, ond, yn wahanol i rai'r Pythagoreaid, ymddengys nad yw wedi arwain i unman. Fel rhifau perffaith y Pythagoriaid, mae sgwariau hud wedi pasio o ofergoeliaeth i hwyl a hamdden.

==== Gwlad Groeg Clasurol a'r cyfnod Hellenistig cynnar ====
Ar wahân i ychydig o ddarnau, mae mathemateg Gwlad Groeg Clasurol yn hysbys i ni naill ai trwy adroddiadau pobl nad ydynt yn fathemategwyr cyfoes neu trwy weithiau mathemategol o'r [[cyfnod Helenistaidd]] cynnar.{{Sfn|Boyer|Merzbach|1991|p=82}} Yn achos theori rhif, mae hyn yn golygu, ar y cyfan, ''Plato'' ac ''Euclid''.

Tra bod mathemateg Asiaidd wedi dylanwadu ar ddysgu Groeg a [[Cyfnod Helenistaidd|Helenistaidd]], mae'n ymddangos bod mathemateg Gwlad Groeg hefyd yn draddodiad brodorol.

Mae Eusebius, PE X, pennod 4 yn sôn am [[Pythagoras]] :<blockquote>"Mewn gwirionedd ymwelodd y Pythagoras dywededig, wrth astudio doethineb pob cenedl yn brysur, â Babilon, a'r Aifft, a Phersia cyfan, gan gael ei gyfarwyddo gan y Magi a'r offeiriaid: ac yn ychwanegol at y rhain dywedir iddo astudio o dan y Brahmans (athronwyr Indiaidd yw'r rhain); a chasglodd sêr-ddewiniaeth gan rai, oddi wrth eraill geometreg, a rhifyddeg a cherddoriaeth gan eraill, a gwahanol bethau o wahanol genhedloedd, a dim ond gan ddynion doeth Gwlad Groeg na chafodd ddim, gan iddynt briodi tlodi a phrinder doethineb: felly i'r gwrthwyneb daeth ef ei hun yn awdur cyfarwyddyd i'r Groegiaid yn y ddysg yr oedd wedi'i gaffael o dramor." <ref>{{Cite web|url=http://www.tertullian.org/fathers/eusebius_pe_10_book10.htm|title=Eusebius of Caesarea: Praeparatio Evangelica (Preparation for the Gospel). Tr. E.H. Gifford (1903) – Book 10}}</ref></blockquote>Honnodd Aristotle fod athroniaeth Plato yn dilyn dysgeidiaeth y Pythagoriaid yn agos,<ref>Metaphysics, 1.6.1 (987a)</ref> ac mae Cicero'n ailadrodd yr honiad hwn: ''Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia'' ("Maen nhw'n dweud bod Plato wedi dysgu popeth Pythagoraidd").<ref>Tusc. Disput. 1.17.39.</ref>

Roedd gan [[Platon|Plato]] ddiddordeb mawr mewn [[mathemateg]], ac roedd yn gwahaniaethu'n glir rhwng rhifyddeg a chyfrifo. Trwy un o ddeialogau Plato - sef Theaetetus - y gwyddom fod Theodorus wedi profi fod <math>\sqrt{3}, \sqrt{5}, \dots, \sqrt{17}</math> yn afresymol. Roedd Theaetetus, fel Plato, yn ddisgybl i Theodorus; gweithiodd ar wahaniaethu gwahanol fathau o "incommensurables", ac felly gellir dadlau ei fod yn arloeswr wrth astudio [[Rhif|systemau rhif]]. Mae Llyfr X o [[Yr Elfennau|Elfennau Euclid]] yn cael ei ddisgrifio gan Pappus fel un sy'n seiliedig i raddau helaeth ar waith Theaetetus. 

Neilltuodd [[Euclid]] ran o'i ''Elfennau'' i rifau cysefin a rhannu, pynciau sy'n perthyn yn ddiamwys i theori rhif ac sy'n sylfaenol iddi (Llyfrau VII i IX o [[Yr Elfennau|Elfennau Euclid]]). Yn benodol, rhoddodd [[algorithm]] ar gyfer cyfrifiadura'r rhannwr cyffredin mwyaf o ddau rif (yr [[algorithm Ewclidaidd]]; ''Elements'', Prop. VII.2) a'r prawf hysbys cyntaf o anfeidredd rhifau cysefin (''Elfennau'', Prop. IX.20).

Yn 1773, cyhoeddodd [[Gotthold Ephraim Lessing|Lessing]] epigram yr oedd wedi dod o hyd iddo mewn llawysgrif yn ystod ei waith fel llyfrgellydd; honnodd ei fod yn llythyr a anfonwyd gan [[Archimedes]] at [[Eratosthenes]].{{Sfn|Vardi|1998|pp=305–19}}{{Sfn|Weil|1984|pp=17–24}} Cynigiodd yr epigram yr hyn a elwir bellach yn "broblem gwartheg Archimedes"; mae ei ddatrysiad (yn absennol o'r llawysgrif) yn gofyn am ddatrys hafaliad cwadratig amhenodol (sy'n lleihau i'r hyn a fyddai wedyn yn cael ei gam- enwi'n 'hafaliad Pell'). Hyd y gwyddom, cafodd hafaliadau o'r fath eu trin yn llwyddiannus yn gyntaf gan yr [[Damcaniaeth rhifau|ysgol Indiaidd]]. Nid yw'n hysbys a oedd gan Archimedes ei hun ddatrysiad i'r broblem.

==== Diophantus ====
[[Delwedd:Diophantus-cover.jpg|bawd| Clawr rhifyn 1621 o ''Arithmetica'' gan Diophantus, wedi'i gyfieithu i'r [[Lladin]] gan Claude Gaspard Bachet de Méziriac .]]
Ychydig iawn sy'n hysbys am [[Diophantus o Alexandria]]; mae'n debyg ei fod yn byw yn y 3g OC, hynny yw, tua phum can mlynedd ar ôl Euclid. Mae chwech allan o un-deg-tri o lyfrau ''Arithmetica'' Diophantus wedi goroesi mewn Groeg ac mae pedwar arall wedi goroesi mewn cyfieithiad Arabeg. Mae'r ''Arithmetica'' yn gasgliad o broblemau sydd wedi'u cwblhau, lle mae'r dasg yn ddieithriad i ddod o hyd i atebion rhesymegol i system o hafaliadau polynomial, fel arfer o'r ffurf <math>f(x,y)=z^2</math> neu <math>f(x,y,z)=w^2</math>. Felly, y dyddiau hyn, rydym yn siarad am ''hafaliadau Diophantine'' pan fyddwn yn siarad am hafaliadau polynomial y mae'n rhaid dod o hyd i atebion rhesymegol neu gyfanrif iddynt.

Gellir dweud bod Diophantus yn astudio pwyntiau rhesymegol, hynny yw, pwyntiau y mae eu cyfesurynnau'n rhesymol - ar [[Cromlin|gromliniau]] ac amrywiadau algebraidd; fodd bynnag, yn wahanol i Roegiaid y cyfnod Clasurol, a wnaeth yr hyn y byddem bellach yn ei alw'n algebra sylfaenol mewn termau geometregol, gwnaeth Diophantus yr hyn y byddem ni nawr yn ei alw'n 'geometreg algebraidd sylfaenol' mewn termau algebraidd yn unig. Mewn iaith fodern, yr hyn a wnaeth Diophantus oedd hyn: o ystyried hafaliad o'r ffurf (dyweder) <math>f(x_1,x_2,x_3)=0</math>, ei nod oedd dod o hyd i dair swyddogaeth resymegol <math>g_1, g_2, g_3</math> fel bod, ar gyfer holl werthoedd <math>r</math> a <math>s</math>, gosod <math>x_i = g_i(r,s)</math> ar gyfer <math>i=1,2,3</math> sy'n rhoi ateb i <math>f(x_1,x_2,x_3)=0.</math>

Astudiodd Diophantus hefyd hafaliadau rhai cromliniau nad ydynt yn rhesymol, nad oes unrhyw barametrisiad rhesymegol yn bosibl ar eu cyfer. Llwyddodd i ddod o hyd i rai pwyntiau rhesymegol ar y cromliniau hyn (cromliniau eliptig, fel mae'n digwydd, yn yr hyn sy'n ymddangos fel y tro cyntaf) trwy'r hyn sy'n gyfystyr ag adeiladwaith tangiad: wedi'i drosi'n geometreg gyfesurynnol. Byddai ei ddull yn cael ei ddelweddu fel lluniadu tangiad i gromlin ar bwynt rhesymegol hysbys, ac yna'n darganfod pwynt croestoriad arall y tangiad â'r gromlin; mae'r pwynt arall hwnnw'n bwynt rhesymegol newydd.

Er bod Diophantus yn ymwneud i raddau helaeth ag atebion rhesymegol, cymerodd rai canlyniadau ar [[Cyfanrif|gyfanrif]]<nowiki/>au, yn benodol bod pob cyfanrif yn gyfanswm o bedwar sgwâr.

==== Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara ====
Er bod seryddiaeth Gwlad Groeg yn ôl pob tebyg wedi dylanwadu ar ddysgu Indiaidd, hyd at gyflwyno trigonometreg,{{Sfn|Plofker|2008|p=119}} ymddengys ei bod yn wir bod mathemateg Indiaidd yn draddodiad brodorol fel arall; <ref name="Plofbab">Any early contact between Babylonian and Indian mathematics remains conjectural {{Harvard citation|Plofker|2008|p=42}}.</ref> yn benodol, nid oes tystiolaeth bod Elfennau Euclid wedi cyrraedd India cyn y 18g.{{Sfn|Mumford|2010|p=387}}

Dangosodd [[Aryabhata|Āryabhaṭa]] (476-550 OC) fod parau o gyfuniadau ar yr un pryd <math>n\equiv a_1 \bmod m_1</math>, <math>n\equiv a_2 \bmod m_2</math> y gellid ei ddatrys trwy ddull o'r enw ''kuṭṭaka'', neu ''pulveriser''; <ref>Āryabhaṭa, Āryabhatīya, Chapter 2, verses 32–33, cited in: {{Harvard citation no brackets|Plofker|2008}}. See also {{Harvard citation no brackets|Clark|1930}}. A slightly more explicit description of the kuṭṭaka was later given in [[Brahmagupta]], ''Brāhmasphuṭasiddhānta'', XVIII, 3–5 (in {{Harvard citation no brackets|Colebrooke|1817|p=325}}, cited in {{Harvard citation no brackets|Clark|1930|p=42}}).</ref> mae hon yn weithdrefn sy'n agos at yr [[algorithm Ewclidaidd]], a ddarganfuwyd yn ôl pob tebyg yn annibynnol yn India.{{Sfn|Mumford|2010|p=388}} Mae'n ymddangos bod Āryabhaṭa wedi ystyried cymwysiadau i gyfrifiadau seryddol.{{Sfn|Plofker|2008|p=119}}

Dechreuodd [[Brahmagupta]] (628 OC) yr astudiaeth systematig o hafaliadau cwadratig amhenodol - yn enwedig [[hafaliad Pell]], sydd wedi'i gam-enwi, y gallai fod gan [[Archimedes]] ddiddordeb ynddo gyntaf, ac na ddechreuwyd ei ddatrys yn y Gorllewin tan amser Fermat ac Euler. Yn ddiweddarach, byddai awduron Sansgrit  yn dilyn, gan ddefnyddio terminoleg dechnegol Brahmagupta. Daethpwyd o hyd i weithdrefn gyffredinol (y chakravala, neu'r "dull cylchol") ar gyfer datrys hafaliad Pell o'r diwedd gan Jayadeva (a ddyfynnwyd yn yr [[11g]]; ond collwyd ei waith, ers hynny); mae'r dangosiad cynharaf sydd wedi goroesi yn ymddangos yn Bīja-gaṇita Bhāskara II ([[12g]]).{{Sfn|Plofker|2008|p=194}}

Arhosodd mathemateg Indiaidd yn anhysbys i raddau helaeth yn Ewrop tan ddiwedd y [[12g]]. {{Sfn|Plofker|2008|p=283}} Cyfieithwyd gwaith Brahmagupta a Bhāskara i'r Saesneg ym 1817 gan Henry Colebrooke.{{Sfn|Colebrooke|1817}}

==== Rhifyddeg yn yr oes aur Islamaidd ====
Yn gynnar yn y nawfed ganrif, gorchmynnodd y caliph [[Al-Ma'mun]] gyfieithiadau o lawer o weithiau mathemategol [[Gwlad Groeg]] ac o leiaf un gwaith [[Sansgrit]] (y ''Sindhind'', a all fod <ref>{{Harvard citation no brackets|Colebrooke|1817}}, cited in {{Harvard citation no brackets|Hopkins|1990}}. See also the preface in
{{Harvard citation no brackets|Sachau|1888}} cited in {{Harvard citation no brackets|Smith|1958|pp=168}}</ref><ref name="Plofnot">{{Harvard citation no brackets|Pingree|1968|pp=97–125}}, and {{Harvard citation no brackets|Pingree|1970|pp=103–23}}, cited in {{Harvard citation no brackets|Plofker|2008}}.</ref> yn waith gan [[Brahmagupta]]). Cyfieithwyd prif waith Diophantus, yr ''Arithmetica'', i'r [[Arabeg]] gan Qusta ibn Luqa (820–912). Mae rhan o'r traethawd ''al-Fakhri'' (gan al-Karajī, 953 - ca. 1029) yn adeiladu arno i raddau. Yn ôl Rashed Roshdi, roedd Ibn al-Haytham cyfoeswr i Al-Karajī yn gwybod {{Sfn|Rashed|1980|pp=305–21}} beth fyddai’n cael ei alw’n 'theorem Wilson' yn ddiweddarach.

==== Gorllewin Ewrop yn yr Oesoedd Canol ====
Heblaw am draethawd ar sgwariau mewn dilyniant rhifyddeg gan [[Fibonacci]] - a deithiodd ac a astudiodd yng ngogledd Affrica a [[Caergystennin|Chaercystennin]] - ni wnaed unrhyw theori rhif gwerth ei halen yng ngorllewin Ewrop yn ystod yr [[Oesoedd Canol]]. Dechreuodd materion newid yn Ewrop ddiwedd y [[Dadeni Dysg|Dadeni]], diolch i astudiaeth o'r newydd o weithiau hynafiaeth Gwlad Groeg. Y catalydd i hyn oedd y cyfieithiad i'r Lladin o ''Arithmetica'' gan Diophantus.<ref>[[Claude Gaspard Bachet de Méziriac|Bachet]], 1621, following a first attempt by [[Guilielmus Xylander|Xylander]], 1575</ref>

=== Damcaniaeth rhif modern cynnar ===

==== Fermat ====
Ni chyhoeddodd [[Pierre de Fermat]] (1607–1665) ei ysgrifau erioed; yn benodol, mae ei waith ar theori rhif wedi'i gynnwys bron yn gyfan gwbl mewn llythyrau at fathemategwyr ac mewn nodiadau ymylol preifat.{{Sfn|Weil|1984|pp=45–46}}<ref>{{Harvard citation no brackets|Weil|1984}}. This was more so in number theory than in other areas (remark in {{Harvard citation no brackets|Mahoney|1994}}). Bachet's own proofs were "ludicrously clumsy" {{Harvard citation|Weil|1984}}.</ref>

Gwnaeth Fermat y cyfraniadau canlynol i'r maes:

* Un o ddiddordebau cyntaf Fermat oedd [[Rhif perffaith|rhifau perffaith]] (sy'n ymddangos yn Euclid, ''Elfennau'' IX) a rhifau cyfeillgar (''amicable numbers''); arweiniodd y pynciau hyn at weithio ar rannwyr [[cyfanrif]] (''integer divisors''), a oedd o'r dechrau ymhlith pynciau'r ohebiaeth (1636 ymlaen) a'i rhoddodd mewn cysylltiad â chymuned fathemategol y dydd.<ref>{{Harvard citation no brackets|Mahoney|1994}}. The initial subjects of Fermat's correspondence included divisors ("aliquot parts") and many subjects outside number theory; see the list in the letter from Fermat to Roberval, 22.IX.1636, {{Harvard citation no brackets|Tannery|Henry|1891|loc=Vol. II, pp. 72, 74}}, cited in {{Harvard citation no brackets|Mahoney|1994}}.</ref>
* Yn 1638, honnodd Fermat, heb brawf, y gellir mynegi'r holl rifau cyfan fel swm pedwar sgwâr neu lai.<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=5tFFDwAAQBAJ|title=Numbers and Measurements|last=Faulkner|first=Nicholas|last2=Hosch|first2=William L.|date=2017-12-15|publisher=Encyclopaedia Britannica|isbn=9781538300428|language=en}}</ref>
* Theorem Bychan Fermat (1640): <ref>{{Harvard citation no brackets|Tannery|Henry|1891|loc=Vol. II, p. 209}}, Letter XLVI from Fermat to Frenicle, 1640,
cited in {{Harvard citation no brackets|Weil|1984}}</ref> os nad ''yw'' ''a'' yn rhanadwy gan [[Rhif cysefin|rif cysefin]] ''p,'' yna <math>a^{p-1} \equiv 1 \bmod p.</math> 
* Os yw ''a'' a ''b'' yn ''coprime'', yna nid yw <math>a^2 + b^2</math> yn rhanadwy gan unrhyw ''prime congruent'' â −1 modulo 4;<ref>{{Harvard citation no brackets|Tannery|Henry|1891|loc=Vol. II, p. 204}}, cited in {{Harvard citation no brackets|Weil|1984}}. All of the following citations from Fermat's ''Varia Opera'' are taken from {{Harvard citation no brackets|Weil|1984|loc=Chap. II}}. The standard Tannery & Henry work includes a revision of Fermat's posthumous ''Varia Opera Mathematica'' originally prepared by his son {{Harvard citation|Fermat|1679}}.</ref> a gellir ysgrifennu pob [[rhif cysefin]] i 1 modwlws 4 ar y ffurf <math>a^2 + b^2</math>.{{Sfn|Tannery|Henry|1891|loc=Vol. II, p. 213}} Mae'r ddau ddatganiad hyn hefyd yn dyddio o 1640; ym 1659, nododd Fermat wrth Huygens ei fod wedi profi'r datganiad olaf trwy'r dull o ddisgyniad anfeidrol (''the method of infinite descent'').{{Sfn|Tannery|Henry|1891|loc=Vol. II, p. 423}}
* Yn 1657, cododd Fermat y broblem o ddatrys <math>x^2 - N y^2 = 1</math> fel her i fathemategwyr Saesneg. Datryswyd y broblem mewn ychydig fisoedd gan Wallis a Brouncker. {{Sfn|Weil|1984}} Ystyriodd Fermat bod eu datrysiad  yn ddilys, ond nododd eu bod wedi darparu algorithm heb brawf (fel yr oedd Jayadeva a Bhaskara, er nad oedd Fermat yn ymwybodol o hyn). Dywedodd y gallai prawf ddod o hyd i ddisgyniad anfeidrol.
* Nododd a phrofodd Fermat (yn ôl disgyniad anfeidrol) yn yr atodiad i ''Sylwadau ar Diophantus'' (Ars. XLV) {{Sfn|Tannery|Henry|1891|loc=Vol. I, pp. 340–41}} nad oes gan <math>x^{4} + y^{4} = z^{4}</math> atebion dibwys yn y [[Cyfanrif|cyfanrifau]]. Soniodd Fermat hefyd wrth ei ohebwyr hefyd nad oes gan <math>x^3 + y^3 = z^3</math> atebion dibwys, ac y gallai hyn hefyd gael ei brofi gan ddisgyniad anfeidrol.{{Sfn|Weil|1984}} Mae'r prawf cyntaf y gwyddys amdano oherwydd Euler (1753; yn wir o ddisgyniad anfeidrol).{{Sfn|Weil|1984}}
* Honnodd Fermat ([[Theorem Olaf Fermat]]) ei fod wedi dangos nad oes unrhyw atebion i <math>x^n + y^n = z^n</math> i'r cyfan o <math>n\geq 3</math> ; mae'r honiad hwn yn ymddangos yn ei anodiadau ar gyrion ei gopi o Diophantus.

==== Euler ====
[[Delwedd:Leonhard_Euler.jpg|bawd| [[Leonhard Euler]]]]
Sbardunwyd diddordeb [[Leonhard Euler]] (1707–1783) mewn theori rhif gyntaf ym 1729, pan gyfeiriodd ffrind iddo, Goldbach, tuag at rywfaint o waith Fermat ar y pwnc.{{Sfn|Weil|1984|pp=2, 172}}{{Sfn|Varadarajan|2006}} Galwyd hyn yn "aileni" theori rhif modern,{{Sfn|Weil|1984|pp=1–2}} oherwydd diffyg llwyddiant cymharol Fermat i ddenu ei gyfoeswyr at y pwnc.<ref>{{Harvard citation no brackets|Weil|1984}} and {{Harvard citation no brackets|Varadarajan|2006}}</ref><ref>{{Harvard citation no brackets|Varadarajan|2006}} and {{Harvard citation no brackets|Weil|1984|pp=176–89}}</ref>

== Meysydd ==
Gellir dosbarthu damcaniaeth rhifau yn sawl is-faes, yn ôl y dulliau a ddefnyddir a'r math o gwestiynau sy'n cael eu hymchwilio:

=== Damcaniaeth elfennol rhifau ===
Astudiaeth o'r cyfanrifau heb ddefnyddio dulliau o ganghennau eraill o fathemateg. Dyma rhai o'r pethau a astudir:
* Cwestiynau rhaniadwyedd
* Defnydd o'r [[Algorithm Ewclidaidd]]
* Canfod [[ffactorau cysefin]]
* [[Rhifau perffaith]]
* [[Rhifyddeg modylol]]
* Priodweddau [[ffwythiant Möbius]] a'r [[ffwythiant φ]]
* [[dilyniant|Dilyniannau]] cyfanrifol
* Y ffwythiant [[ffactorial]] "!"
* [[Rhifau Fibonacci]]

Er ei fod yn bosib mynegi rhai o broblemau mawr damcaniaeth rhifau o fewn damcaniaeth rhifau elfennol, yn aml mae angen dulliau a dealltwriaeth dwfn o feysydd eraill i'w datrys. Mae [[theorem olaf Fermat]] yn enghraifft o hyn.

Mae'r term ''elfennol'' yn gyffredinol yn dynodi dull nad yw'n defnyddio [[Dadansoddi cymhlyg|dadansoddiad cymhlyg]]. Er enghraifft, profwyd y theorem rhif cysefin gyntaf gan ddefnyddio dadansoddiad cymhlyg ym 1896, ond, ym 1949 gan Erdős a Selberg  y canfuwyd prawf elfennol cyntaf.{{Sfn|Goldfeld|2003}} Mae'r term ychydig yn amwys: er enghraifft, mae proflenni sy'n seiliedig ar theoremau Tauberiaidd cymhlyg (er enghraifft, Wiener-Ikehara) yn aml yn cael eu hystyried yn eithaf goleuedig ond nid yn elfennol, er gwaethaf defnyddio dadansoddiad Fourier, yn hytrach na dadansoddiad cymhlyg fel y cyfryw. Yma fel mewn mannau eraill, ''gall prawf elfennol'' fod yn hirach ac yn anoddach i'r mwyafrif o ddarllenwyr nag un nad yw'n elfennol.
[[Delwedd:Paul_Erdos_with_Terence_Tao.jpg|bawd|270x270px| Damcaniaethwyr rhif Paul Erdős a Terence Tao ym 1985, pan oedd Erdős yn 72 a Tao yn 10 oed.]]
Mae gan damcaniaeth rhif enw da o fod yn faes y gellir nodi llawer o'i ganlyniadau i'r lleygwr. Ar yr un pryd, nid yw proflenni'r canlyniadau hyn yn arbennig o hygyrch, yn rhannol oherwydd bod yr ystod o offer y maent yn eu defnyddio, os rhywbeth, yn anarferol o eang o fewn mathemateg.<ref>See, for example, the initial comment in {{Harvard citation no brackets|Iwaniec|Kowalski|2004}}.</ref>

=== Damcaniaeth rhif dadansoddol ===
[[Delwedd:Complex_zeta.jpg|de|bawd| Ffwythiant Riemann zeta ζ ( ''s'' ) yn yr [[plân cymhlyg]]. Mae lliw pwynt ''s yn'' rhoi gwerth ζ ( ''s'' ): mae lliwiau tywyll yn dynodi gwerthoedd sy'n agos at sero ac mae lliw yn rhoi dadl y gwerth.]]
Gellir diffinio ''theori rhifau dadansoddol''

* o ran ei offer, fel astudiaeth o'r cyfanrifau trwy offer o ddadansoddiad real a chymhlyg;{{Sfn|Apostol|1976|p=7}} neu
* o ran ei bryderon, fel yr astudiaeth o fewn theori rhif amcangyfrifon ar faint a dwysedd, yn hytrach nag [[unfathiant]].<ref>{{Harvard citation no brackets|Granville|2008}}: "The main difference is that in algebraic number theory [...] one typically considers questions with answers that are given by exact formulas, whereas in analytic number theory [...] one looks for ''good approximations''."</ref>

Mae rhai pynciau yr ystyrir yn gyffredinol eu bod yn rhan o theori rhifau dadansoddol, er enghraifft, theori gogr, yn cael eu cynnwys yn well gan yr ail yn hytrach na'r diffiniad cyntaf: er enghraifft, ychydig o ddadansoddiad y mae rhai o theori rhidyll yn ei ddefnyddio, ac eto mae'n perthyn i theori rhifau dadansoddol.

Mae damcaniaeth dadansoddol rhifau yn defnyddio dulliau o [[calcwlws|galcwlws]] a [[dadansoddi cymhlyg]] i ymafael â phroblemau sy'n ymwneud a'r cyfanrifau.

=== Damcaniaeth algebreaidd rhifau ===
Yn y maes hwn, estynnir y cysyniad o rif i gynnwys [[rhifau algebreaidd]], sef gwreiddiau [[polynomial]]au sydd â chyfernodau cyfanrifol. Ceir rhifau algebreaidd sy'n ymddwyn yn debyg i gyfanrifau, y [[cyfanrifau algebreaidd]].

=== Damcaniaeth geometregol rhifau ===

=== Damcaniaeth gyfuniadeddol rhifau ===

=== Damcaniaeth rhifau gyfrifiadurol ===
Gellir defnyddio algorithmau cyfrifiadurol perthnasol i gynorthwyo astudiaeth o damcaniaeth rhifau. Ceir cymhwysiad pwysig o rhai algorithmau wrth ceisio creu a thorri [[côd|codau]], algorithmau chwim i brofi rhifau cysefin a ffactori rhifau mawr er enghraifft.

=== Damcaniaeth rhif cyfrifiadol ===
Enghraifft gynnar yw'r hyn a alwn yn awr yn [[algorithm Ewclidaidd]]. Yn ei ffurf sylfaenol (sef, fel algorithm ar gyfer cyfrifiadura'r [[rhannydd cyffredin mwyaf]]) mae'n ymddangos fel Cynnig 2, Llyfr VII yn yr ''[[Yr Elfennau|Elfennau]]'', ynghyd â phrawf o gywirdeb. Fodd bynnag, yn y ffurf a ddefnyddir yn aml mewn theori rhif (sef, fel algorithm ar gyfer dod o hyd i atebion cyfanrif i hafaliad <math>a x + b y = c</math>, neu, yr un peth, ar gyfer dod o hyd i'r meintiau y mae theorem gweddill Tsieineaidd yn sicrhau eu bodolaeth) mae'n ymddangos gyntaf yng ngweithiau Āryabhaṭa (CE 5ed-6ed ganrif) fel algorithm o'r enw ''kuṭṭaka'' ("''pulveriser''"), heb brawf o gywirdeb.
[[Delwedd:Computer History Museum (4145886786).jpg|bawd| Rhidyll Lehmer, [[Cyfrifiadur|cyfrifiadur digidol]] cyntefig a ddefnyddir i ddod o hyd i [[Rhif cysefin|gyfnodau]] a datrys hafaliadau Diophantine syml.]]
Er bod y gair ''algorithm yn'' mynd yn ôl i'r [[Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī|al-Khwārizmī]] mae disgrifiadau gofalus o ddulliau datrys yn hŷn na'r profion: mae dulliau o'r fath (hynny yw, algorithmau) mor hen ag unrhyw fathemateg rydym yn ei adnabod — yr hen Aifft, Babilon, Vedic, Tsieina — ond ymddangosodd y prawf / profion yn y cyfnod clasurol.

Achos cynnar o hyn yw'r hyn a alwn yn awr yn [[algorithm Ewclidaidd]]. Yn ei ffurf sylfaenol (sef, fel algorithm ar gyfer cyfrifiannu'r [[rhannydd cyffredin mwyaf]]) mae'n ymddangos fel Cynnig 2 Llyfr VII yr ''[[Yr Elfennau|Elfennau]]'', ynghyd â phrawf o gywirdeb. Fodd bynnag, yn y ffurf a ddefnyddir yn aml mewn theori rhif (sef, fel algorithm ar gyfer dod o hyd i atebion cyfanrif i hafaliad <math>a x + b y = c</math>, neu, beth sydd yr un peth, ar gyfer darganfod y meintiau y mae theorem 'gweddill' Tsieineaidd yn sicrhau eu bodolaeth) mae'n ymddangos gyntaf yng ngweithiau Āryabhaṭa (5–[[6g]]) fel algorithm o'r enw ''kuṭṭaka'' ("pulveriser"), heb brawf o gywirdeb.

Mae dau brif gwestiwn: "A allwn ni gyfrifo hyn?" ac "A allwn ei gyfrifo'n gyflym?" Gall unrhyw un brofi a yw rhif yn gysefin neu, os nad ydyw, ei rannu'n ffactorau cysefin; mae gwneud hynny'n gyflym yn fater arall. Rydym bellach yn deall algorithmau cyflym ar gyfer profi <nowiki><i>primality</i></nowiki>, ond, er gwaethaf llawer o waith (damcaniaethol ac ymarferol), nid oes algorithm gwirioneddol gyflym ar gyfer ffactoreiddio.

Gall anhawster cyfrifiant fod yn ddefnyddiol: mae protocolau modern ar gyfer amgryptio negeseuon (er enghraifft, RSA) yn dibynnu ar swyddogaethau sy'n hysbys i bawb, ond y mae eu gwrthdroadau yn hysbys i ychydig yn unig, a byddent yn cymryd gormod o amser rhy hir i'w datrus ar eich pen eich hun. Er bod llawer o broblemau cyfrifiadol anodd y tu allan i theori rhif yn hysbys, mae'r mwyafrif o brotocolau amgryptio sy'n gweithio y dyddiau hyn yn seiliedig ar anhawster llond dwrn yn unig o broblemau damcaniaethol rhif.

== Ffynonellau ==
{{Dechcyf|30em}}
<!--Small font-->
* {{Cite book|last=Apostol|first=Tom M.|author-link=Tom M. Apostol|year=1976|title=Introduction to analytic number theory|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|publisher=[[Springer Publishing|Springer]]|isbn=978-0-387-90163-3|url=https://books.google.com/books?id=Il64dZELHEIC|access-date=2016-02-28}}
* {{Cite journal|last=Apostol|first=Tom M.|year=n.d.|title=An Introduction to the Theory of Numbers|series=(Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet)|mr=0568909|publisher=[[American Mathematical Society]]|url=https://www.ams.org/mathscinet/|access-date=2016-02-28}} (Subscription needed)
* {{Cite journal|last=Becker|first=Oskar|year=1936|author-link=Oskar Becker|language=de|title=Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente|journal=Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik|series=Abteilung B:Studien|volume=3|pages=533–53}}
* {{Cite book|last=Boyer|first=Carl Benjamin|last2=Merzbach|first2=Uta C.|author-link2=Uta Merzbach|year=1991|author-link=Carl Benjamin Boyer|title=A History of Mathematics|edition=2nd|orig-year=1968|location=New York|publisher=[[Wiley (publisher)|Wiley]]|isbn=978-0-471-54397-8|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye}} [https://archive.org/details/AHistoryOfMathematics 1968 edition] at archive.org
* {{Cite book|last=Clark|first=Walter Eugene (trans.) <!--|last2=Aryabhata
|author2-link=Aryabhata-->|year=1930|title=The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: An ancient Indian work on Mathematics and Astronomy|publisher=[[University of Chicago Press]]|url=https://archive.org/details/The_Aryabhatiya_of_Aryabhata_Clark_1930|access-date=2016-02-28}}
* {{Cite book|last=Colebrooke|first=Henry Thomas|year=1817|author-link=Henry Thomas Colebrooke|title=Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara.|location=London|publisher=J. Murray|url=https://archive.org/details/algebrawitharith00brahuoft|access-date=2016-02-28}}
* {{Cite book|last=Davenport|first=Harold|author-link=Harold Davenport|year=2000|last2=Montgomery|first2=Hugh L.|author-link2=Hugh Montgomery (mathematician)|title=Multiplicative Number Theory|edition=revised 3rd|series=Graduate texts in mathematics|volume=74|publisher=[[Springer Publishing|Springer]]|isbn=978-0-387-95097-6}}
* {{Cite journal|last=Edwards|first=Harold M.|author-link=Harold Edwards (mathematician)|date=November 1983|title=Euler and Quadratic Reciprocity|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1983-11_56_5/page/285|journal=Mathematics Magazine|volume=56|issue=5|pages=285–91|jstor=2690368|doi=10.2307/2690368}}
* {{Cite book|last=Edwards|first=Harold M.|year=2000|orig-year=1977|title=Fermat's Last Theorem: a Genetic Introduction to Algebraic Number Theory|edition=reprint of 1977|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=50|publisher=[[Springer Verlag]]|isbn=978-0-387-95002-0|url=https://books.google.com/books?id=_IxN-5PW8asC}}
* {{Cite book|last=Fermat|first=Pierre de|year=1679|author-link=Pierre de Fermat|language=fr, la|title=Varia Opera Mathematica|location=Toulouse|publisher=Joannis Pech|url=https://archive.org/details/bub_gb_fvZaAAAAQAAJ|access-date=2016-02-28}}
* {{Cite journal|last=Friberg|first=Jöran|date=August 1981|title=Methods and Traditions of Babylonian Mathematics: Plimpton 322, Pythagorean Triples and the Babylonian Triangle Parameter Equations|journal=Historia Mathematica|volume=8|issue=3|pages=277–318|doi=10.1016/0315-0860(81)90069-0}}
* {{Cite book|last=von Fritz|first=Kurt|editor-last=Christianidis|editor-first=J.|year=2004|chapter=The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum|title=Classics in the History of Greek Mathematics|location=Berlin|publisher=Kluwer (Springer)|isbn=978-1-4020-0081-2}}
* {{Cite book|last=Gauss|ref={{harvid|Gauss, Disqu. Arith.||}}|first=Carl Friedrich|last2=Waterhouse|first2=William C. (trans.)|year=1966|author-link=Carl Friedrich Gauss|title=Disquisitiones Arithmeticae|orig-year=1801|publisher=Springer|isbn=978-0-387-96254-2|url=https://books.google.com/books?id=8LcK_CwzMpQC}}
* {{Cite web|last=Goldfeld|first=Dorian M.|authorlink=Dorian M. Goldfeld|year=2003|title=Elementary Proof of the Prime Number Theorem: a Historical Perspective|url=http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ErdosSelbergDispute.pdf|access-date=2016-02-28}}
* {{Cite book|last=Goldstein|editor-last3=Schwermer|pages=3–66|isbn=978-3-540-20441-1|publisher=Springer|location=Berlin & Heidelberg|title=The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's "Disquisitiones Arithmeticae"|chapter=A book in search of a discipline|editor-first3=Joachim|editor-first2=N.|first=Catherine|editor-last2=Schappacher|editor-first=C.|editor-last=Goldstein|year=2007|first2=Norbert|last2=Schappacher|author-link=Catherine Goldstein|access-date=2016-02-28}}
* {{Cite book|last=Granville|editor-last3=Leader|isbn=978-0-691-11880-2|publisher=[[Princeton University Press]]|title=The Princeton Companion to Mathematics|url=https://archive.org/details/princetoncompani0000unse_i8p7|chapter=Analytic number theory|editor-link3=Imre Leader|editor-first3=Imre|editor-first2=June|first=Andrew|editor-last2=Barrow-Green|editor-link=Timothy Gowers|editor-first=Timothy|editor-last=Gowers|year=2008|author-link=Andrew Granville|access-date=2016-02-28}}
* {{Cite book|ref={{harvid|Guthrie|1920}}|last2=Guthrie|first2=K.S. (trans.)|author-link2=Kenneth Sylvan Guthrie|year=1920|last=Porphyry|author-link=Porphyry (philosopher)|title=Life of Pythagoras|location=Alpine, New Jersey|publisher=Platonist Press|url=http://www.tertullian.org/fathers/porphyry_life_of_pythagoras_02_text.htm}}
* {{Cite book|last=Guthrie|first=Kenneth Sylvan|year=1987|author-link=Kenneth Sylvan Guthrie|title=The Pythagorean Sourcebook and Library|url=https://archive.org/details/pythagoreansourc0000guth|location=Grand Rapids, Michigan|publisher=Phanes Press|isbn=978-0-933999-51-0}}
* {{Cite book|last=Hardy|first=Godfrey Harold|author-link=G. H. Hardy|last2=Wright|first2=E.M.|title=An Introduction to the Theory of Numbers|orig-year=1938|publisher=[[Oxford University Press]]|edition=Sixth|isbn=978-0-19-921986-5|mr=2445243|year=2008}}
* {{Cite book|last=Heath|first=Thomas L.|year=1921|author-link=Thomas Little Heath|title=A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid|location=Oxford|publisher=[[Clarendon Press]]|url=https://archive.org/details/historyofgreekma01heat|access-date=2016-02-28}}
<!-- Alternative Info – Google limited preview
 |year=1981
 |publisher=Courier Dover Publications
 |url=https://books.google.com/books?id=drnY3Vjix3kC
 |isbn=0-486-24073-8, 9780486240732 -->
* {{Cite book|last=Hopkins|first=J.F.P.|editor-last=Young|editor-first=M.J.L.|editor-last2=Latham|editor-first2=J.D.|editor-last3=Serjeant|editor-first3=R.B.|year=1990|chapter=Geographical and Navigational Literature|title=Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period|url=https://archive.org/details/religionlearning0000unse_j2v2|series=The Cambridge history of Arabic literature|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-32763-3}}
* {{Cite encyclopedia}}
* {{Cite book|last=Iwaniec|first=Henryk|author-link=Henryk Iwaniec|last2=Kowalski|first2=Emmanuel|year=2004|title=Analytic Number Theory|series=American Mathematical Society Colloquium Publications|volume=53|location=Providence, RI|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-3633-0}}
* {{Cite book|ref={{harvid|Jowett|1871}}|last2=Jowett|first2=Benjamin (trans.)|author-link2=Benjamin Jowett|year=1871|last=Plato|author-link=Plato|title=Theaetetus|url=http://classics.mit.edu/Plato/theatu.html|access-date=2022-04-06|archive-date=2011-07-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20110709194524/http://classics.mit.edu/Plato/theatu.html|url-status=dead}}
* {{Cite book|last=Lam|first=Lay Yong|last2=Ang|first2=Tian Se|year=2004|author-link=Lam Lay Yong|title=Fleeting Footsteps: Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China|edition=revised|location=Singapore|publisher=World Scientific|isbn=978-981-238-696-0|url=https://books.google.com/books?id=fGYmpWE5UZgC|access-date=2016-02-28}}
* {{Cite book|last=Long|first=Calvin T.|year=1972|title=Elementary Introduction to Number Theory|url=https://archive.org/details/elementaryintrod0000long_m1z0_2ndedi|edition=2nd|publisher=[[D.C. Heath and Company]]|location=Lexington, VA|lccn=77171950}}
* {{Cite book|last=Mahoney|first=M.S.|year=1994|title=The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601–1665|edition=Reprint, 2nd|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-03666-3|url=https://books.google.com/books?id=My19IcewAnoC|access-date=2016-02-28}}
* {{Cite web|last=Milne|first=J. S.|authorlink=James Milne (mathematician)|date=18 March 2017|title=Algebraic Number Theory|url=https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ant.html|access-date=7 April 2020}}
* {{Cite book|last=Montgomery|first=Hugh L.|author-link=Hugh Montgomery (mathematician)|year=2007|last2=Vaughan|first2=Robert C.|author-link2=Bob Vaughan|title=Multiplicative Number Theory: I, Classical Theory|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-84903-6|url=https://books.google.com/books?id=nGb1NADRWgcC|access-date=2016-02-28}}
* {{Cite book|ref={{harvid|Morrow|1992}}|last=Morrow|first=Glenn Raymond (trans., ed.)|year=1992|last2=Proclus|author-link2=Proclus|title=A Commentary on Book 1 of Euclid's Elements|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-02090-7|url=https://books.google.com/books?id=JZEHj2fEmqAC&pg=PA52}}
* {{Cite journal|last=Mumford|first=David|author-link=David Mumford|title=Mathematics in India: reviewed by David Mumford|journal=Notices of the American Mathematical Society|date=March 2010|volume=57|issue=3|page=387|issn=1088-9477|url=https://www.ams.org/notices/201003/rtx100300385p.pdf}}
* {{Cite book|last=Neugebauer|first=Otto E.|year=1969|author-link=Otto E. Neugebauer|title=The Exact Sciences in Antiquity|volume=9|pages=1–191|edition=corrected reprint of the 1957|location=New York|publisher=Dover Publications|pmid=14884919|isbn=978-0-486-22332-2|url=https://books.google.com/books?id=JVhTtVA2zr8C|access-date=2016-03-02}}
* {{Cite book|ref={{harvid|Neugebauer & Sachs|1945}}|last=Neugebauer|first=Otto E.|last2=Sachs|first2=Abraham Joseph|last3=Götze|first3=Albrecht|year=1945|author-link=Otto E. Neugebauer|author-link2=Abraham Sachs|title=Mathematical Cuneiform Texts|series=American Oriental Series|volume=29|publisher=[[American Oriental Society]] etc.}}
* {{Cite web|last=O'Grady|first=Patricia|authorlink=Patricia O'Grady|date=September 2004|title=Thales of Miletus|url=http://www.iep.utm.edu/thales/|publisher=The Internet Encyclopaedia of Philosophy|access-date=7 February 2012}}
* {{Cite journal|ref={{harvid|Pingree|1968}}|last=Pingree|first=David|last2=Ya'qub|first2=ibn Tariq|author-link2=Yaʿqūb ibn Ṭāriq|year=1968|title=The Fragments of the Works of Ya'qub ibn Tariq|journal=Journal of Near Eastern Studies|volume=26}}
* {{Cite journal|ref={{harvid|Pingree|1970}}|last=Pingree|first=D.|last2=al-Fazari|year=1970|author-link2=al-Fazari|title=The Fragments of the Works of al-Fazari|journal=Journal of Near Eastern Studies|volume=28}}
* {{Cite book|last=Plofker|first=Kim|author-link=Kim Plofker|year=2008|title=Mathematics in India|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-12067-6}}
* {{Cite book|editor-last=Qian|editor-first=Baocong|year=1963|language=zh|title=Suanjing shi shu (Ten Mathematical Classics)|location=Beijing|publisher=Zhonghua shuju|url=https://www.scribd.com/doc/53797787/Jigu-Suanjing%E3%80%80%E7%B7%9D%E5%8F%A4%E7%AE%97%E7%B6%93-Qian-Baocong-%E9%8C%A2%E5%AF%B6%E7%90%AE|access-date=2016-02-28}}
* {{Cite journal|last=Rashed|first=Roshdi|year=1980|title=Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson|url=https://archive.org/details/sim_archive-for-history-of-exact-sciences_1980_22_4/page/305|journal=Archive for History of Exact Sciences|volume=22|issue=4|pages=305–21|doi=10.1007/BF00717654}}
* {{Cite journal|last=Robson|first=Eleanor|author-link=Eleanor Robson|year=2001|title=Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a Reassessment of Plimpton 322|volume=28|journal=Historia Mathematica|issue=3|pages=167–206|doi=10.1006/hmat.2001.2317|url=http://www.hps.cam.ac.uk/people/robson/neither-sherlock.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20141021070742/http://www.hps.cam.ac.uk/people/robson/neither-sherlock.pdf|archive-date=2014-10-21}}
* {{Cite book|last=Sachau|first=Eduard|author-link=Eduard Sachau|last2=Bīrūni|first2=̄Muḥammad ibn Aḥmad|author-link2=Abū Rayḥān al-Bīrūnī|year=1888|title=Alberuni's India: An Account of the Religion, Philosophy, Literature, Geography, Chronology, Astronomy and Astrology of India, Vol. 1|location=London|publisher=Kegan, Paul, Trench, Trübner & Co.|url=http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/lookupname?key=Sachau%2C%20Eduard%2C%201845-1930|access-date=2016-02-28}}
* {{Cite book|last=Serre|first=Jean-Pierre|year=1996|orig-year=1973|author-link=Jean-Pierre Serre|title=A Course in Arithmetic|series=Graduate texts in mathematics|volume=7|publisher=[[Springer Publishing|Springer]]|isbn=978-0-387-90040-7|url=https://archive.org/details/courseinarithmet00serr}}
* {{Cite book|last=Smith|first=D.E.|year=1958|title=History of Mathematics, Vol I|location=New York|publisher=Dover Publications}}
* {{Cite book|ref={{harvid|Tannery|Henry|1891}}|first3=Pierre de|publisher=Imprimerie Gauthier-Villars et Fils|location=Paris|series=(4 Vols.)|title=Oeuvres de Fermat|language=fr, la|author-link3=Pierre de Fermat|last3=Fermat|last=Tannery|year=1891|author-link2=Charles Henry (librarian)|first2=Charles (eds.)|last2=Henry|author-link=Paul Tannery|first=Paul|url=https://archive.org/details/oeuvresdefermat01ferm}} [https://archive.org/details/oeuvresdefermat01ferm Volume 1] [https://archive.org/details/oeuvresdefermat02ferm Volume 2] [https://archive.org/details/oeuvresdefermat03ferm Volume 3] [https://archive.org/details/oeuvresdefermat04ferm Volume 4 (1912)]
* {{Cite book|ref={{harvid|Taylor|1818}}|last2=Taylor|first2=Thomas (trans.)|author-link2=Thomas Taylor (neoplatonist)|year=1818|last=Iamblichus|author-link=Iamblichus|title=Life of Pythagoras or, Pythagoric Life|location=London|publisher=J.M. Watkins|url=http://www.aurumsolis.info/index.php?option=com_phocadownload&view=category&download=1%3Aiamblichus-the-pythagorean-life&id=19%3Awritings-from-the-founders&Itemid=143&lang=en|access-date=2022-04-06|archive-date=2011-07-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20110721184914/http://www.aurumsolis.info/index.php?option=com_phocadownload&view=category&download=1%3Aiamblichus-the-pythagorean-life&id=19%3Awritings-from-the-founders&Itemid=143&lang=en|url-status=dead}} For other editions, see [[Iamblichus#List of editions and translations]]
* {{Cite book|last=Truesdell|first=C.A.|author-link=Clifford Truesdell|year=1984|editor-last=Hewlett|editor-first=John (trans.)|chapter=Leonard Euler, Supreme Geometer|title=Leonard Euler, Elements of Algebra|url=https://archive.org/details/elementsofalgebr0000eule|edition=reprint of 1840 5th|location=New York|publisher=[[Springer-Verlag]]|isbn=978-0-387-96014-2}} This Google books preview of ''Elements of algebra'' lacks Truesdell's intro, which is reprinted (slightly abridged) in the following book:
* {{Cite book|last=Truesdell|first=C.A.|author-link=Clifford Truesdell|year=2007|editor-last=Dunham|editor-first=William|chapter=Leonard Euler, Supreme Geometer|title=The Genius of Euler: reflections on his life and work|url=https://archive.org/details/geniusofeulerref0000unse|series=Volume 2 of MAA tercentenary Euler celebration|location=New York|publisher=[[Mathematical Association of America]]|isbn=978-0-88385-558-4|access-date=2016-02-28}}
* {{Cite book|last=Varadarajan|first=V.S.|year=2006|title=Euler Through Time: A New Look at Old Themes|publisher=[[American Mathematical Society]]|isbn=978-0-8218-3580-7|url=https://books.google.com/books?id=CYyKTREGYd0C|access-date=2016-02-28}}
* {{Cite journal|last=Vardi|first=Ilan|title=Archimedes' Cattle Problem|date=April 1998|journal=American Mathematical Monthly|volume=105|issue=4|pages=305–19|url=https://www.cs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/Cattle/cattle_vardi.pdf|doi=10.2307/2589706|jstor=2589706}}
* {{Cite book|ref={{harvid|van der Waerden|1961}}|last=van der Waerden|first=Bartel L.|last2=Dresden|first2=Arnold (trans)|year=1961|author-link=Bartel Leendert van der Waerden|title=Science Awakening|volume=1 or 2|location=New York|publisher=[[Oxford University Press]]}}
<!-- Alternative Google books limited preview
url=https://books.google.com/books?id=S_T6Pt2qZ5YC&
Translated by Peter Huber
Publisher Springer, 1974
{{isbn|90-01-93103-0}}, {{isbn|978-90-01-93103-2}} -->
* {{Cite book|last=Weil|first=André|year=1984|author-link=André Weil|title=Number Theory: an Approach Through History – from Hammurapi to Legendre|location=Boston|publisher=Birkhäuser|isbn=978-0-8176-3141-3|url=https://books.google.com/books?id=XSV0hDFj3loC|access-date=2016-02-28}}
{{Diweddcyf}}

* {{Cite book|last=G.H. Hardy|author-link=G. H. Hardy|last2=E.M. Wright|title=An introduction to the theory of numbers|year=2008|orig-year=1938|url=https://books.google.com/books?id=rey9wfSaJ9EC|publisher=[[Oxford University Press]]|edition=rev. by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman, 6th|isbn=978-0-19-921986-5|access-date=2016-03-02}}
* {{Cite book|last=Vinogradov|first=I.M.|author-link=Ivan Matveyevich Vinogradov|title=Elements of Number Theory|location=Mineola, NY|publisher=Dover Publications|year=2003|orig-year=1954|edition=reprint of the 1954}}

==Cyfeiriadau==
{{cyfeiriadau}}

[[Categori:Mathemateg bur]]