Gweld cod am Damcaniaeth setiau

{{Pethau| suppressfields= | fetchwikidata = ALL | image = Set theory icon.svg | caption = Eicon damcaniaeth setiau}}

Cangen o [[rhesymeg|resymeg]] [[mathemateg|fathemategol]] sy'n ymwneud â phriodweddau [[set (mathemateg)|setiau]] yw '''damcaniaeth setiau''' neu '''theori setiau'''; gellir ei disgrifio'n anffurfiol fel casgliadau o wrthrychau. yn ymwneud yn bennaf â'r gwrthrychau hynny sy'n berthnasol i [[Mathemateg|fathemateg]] yn ei chyfanrwydd.

Datblygwyd y ddamcaniaeth yn gyntaf gan [[Georg Cantor]] gyda chymorth [[Richard Dedekind]] yn y [[1870au]], yn seiliedig ar waith [[George Boole]]. Roedd y ddisgyblaeth yn arloesol gan iddi drin setiau [[anfeidraidd]] yn yr un modd â gwrthrychau mathemategol meidraidd.<ref>{{dyf Britannica |url=https://www.britannica.com/topic/set-theory |teitl=set theory |dyddiadcyrchiad=8 Awst 2016 }}</ref> Ar droad y ganrif, darganfuwyd nifer o groesosodiadau a gwrthfynegiadau yn y damcaniaeth wreiddiol, a elwir bellach yn ''ddull naïf''. Felly, datblygodd felly sylfaen [[gwireb (mathemateg)|wirebol]] (acsiomatig) i ddamcaniaeth setiau, yn debyg i [[geometreg]] elfennol. O'r holl [[damcaniaeth setiau wirebol|ddamcaniaethau setiau gwirebol]] y mwyaf adnabyddus yw'r system Zermelo–Fraenkel gyda'r wireb o ddewis. Mae'r systemau anffurfiol yr ymchwiliwyd iddynt yn ystod y cyfnod cynnar hwn yn mynd o dan yr enw ''damcaniaeth setiau naïf''. Ar ôl darganfod paradocsau o fewn y ddamcaniaeth setiau naïf (megis paradocs Russell, paradocs Cantor a pharadocs Burali-Forti) cynigiwyd amryw o systemau gwirebol yn gynnar yn yr [[20g]], a'r mwyaf adnabyddus ohonynt yw ddamcaniaeth setiau [[Damcaniaeth set Zermelo-Fraenkel|Zermelo-Fraenkel]].

Erbyn heddiw, defnyddir y ddamcaniaeth hon fel system sy'n sylfaenol i fathemateg, yn enwedig ar ffurf damcaniaeth setiau Zermelo-Fraenkel gyda'r [[Gwireb (mathemateg)|wireb]] o ddewis.{{Sfn|Kunen|1980|p=xi|ps=: "Set theory is the foundation of mathematics. All mathematical concepts are defined in terms of the primitive notions of set and membership. In axiomatic set theory we formulate a few simple axioms about these primitive notions in an attempt to capture the basic "obviously true" set-theoretic principles. From such axioms, all known mathematics Mai be derived."}} Mae ddamcaniaeth setiau hefyd yn darparu'r fframwaith i theori yr [[anfeidredd]], ac mae ganddo gymwysiadau amrywiol mewn [[Cyfrifiadureg|gwyddoniaeth gyfrifiadurol]] (megis yn theori algebra perthynol), [[athroniaeth]] a [[Semanteg (gwyddoniaeth gyfrifiadurol)|semanteg ffurfiol]]. Mae ei apêl sylfaenol, ynghyd â’i [[Paradocs|baradocsau]], ei oblygiadau ar gyfer y cysyniad o anfeidredd a’i gymwysiadau lluosog, wedi gwneud damcaniaeth setiau yn faes o ddiddordeb mawr i [[Rhesymeg|resymegwyr]] ac athronwyr mathemateg. Mae ymchwil gyfoes i damcaniaeth setiau yn ymdrin ag ystod eang o bynciau, yn amrywio o strwythur y [[Rhif real|llinell rif real]] i astudio cysondeb [[prifolion mawr]].

== Hanes ==
[[Delwedd:Georg_Cantor_1894.jpg|bawd|230x230px| [[Georg Cantor]]]]
Mae pynciau mathemategol fel arfer yn dod i'r amlwg ac yn esblygu trwy ryngweithio ymhlith llawer o ymchwilwyr. Fodd bynnag, sefydlwyd damcaniaeth setiau mewn un papur academaidd, ym 1874 gan yr Almaenwr  [[Georg Cantor]]: "Ar Nodweddion y  Casgliad o'r Holl Rifau Algebraidd Real" ("Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen").<ref name="cantor1874">{{Citation|last=Cantor|first=Georg|title=Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen|url=http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155583|volume=1874|issue=77|pages=258–262|year=1874|periodical=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|language=de|doi=10.1515/crll.1874.77.258|author-link=Georg Cantor}}</ref><ref>{{Citation|last=Johnson|first=Philip|title=A History of Set Theory|url=https://archive.org/details/mathematicalcirc0000eves_x3z6|year=1972|publisher=Prindle, Weber & Schmidt|isbn=0-87150-154-6}}</ref>

Ers y [[5g CC]], gan ddechrau gyda'r mathemategydd Groegaidd [[Zeno o Elea]] yn y Gorllewin a mathemategwyr Indiaidd cynnar yn y Dwyrain, roedd mathemategwyr wedi cael trafferth gyda'r cysyniad o [[anfeidredd]] . Yn arbennig o nodedig mae gwaith [[Bernard Bolzano]] yn hanner cyntaf y 19eg ganrif.<ref>{{Citation|last=Bolzano|first=Bernard|title=Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre|volume=II, A, 7|page=152|year=1975|editor-last=Berg|editor-first=Jan|series=Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, edited by Eduard Winter et al.|place=Stuttgart, Bad Cannstatt|publisher=Friedrich Frommann Verlag|isbn=3-7728-0466-7|author-link=Bernard Bolzano}}</ref> Dechreuodd dealltwriaeth fodern o anfeidredd ym 1870-1874, a chafodd ei ysgogi gan waith Cantor mewn [[Dadansoddi real|dadansoddi go iawn]] .<ref>{{Citation|last=Dauben|first=Joseph|title=Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite|pages=30–54|year=1979|publisher=Harvard University Press|isbn=0-674-34871-0|author-link=Joseph Dauben}}.</ref> Dylanwadodd cyfarfod 1872 rhwng Cantor a Richard Dedekind ar feddwl Cantor, a daeth i ben gyda phapur Cantor yn 1874.

Ar y dechrau, polareiddwyd mathemategwyr y dydd, sef cyfoeswyr Cantor, yn llwyr, gyda  Karl Weierstrass a Dedekind yn cefnogi Cantor, a Leopold Kronecker, (sydd bellach yn cael ei ystyried yn sylfaenydd adeiladaeth fathemategol) yn ei wrthwynebu. Damcaniaeth setiau Cantor enillodd y frwydr yn y pen draw, oherwydd defnyddioldeb cysyniadau Cantor, fel ei 'gyfatebiaeth un i un' ymhlith setiau, ei brawf bod mwy o [[Rhif real|rifau real]] na [[Cyfanrif|chyfanrifau]], ac "anfeidredd yr anfeidredd" ("paradwys Cantor") sy'n deillio o weithredu'r set pŵer. Arweiniodd hyn at yr erthygl dylanwadol "Mengenlehre", a gyfrannwyd ym 1898 gan Arthur Schoenflies i wyddoniadur Klein.

Daeth y don nesaf o gyffro mewn damcaniaeth setiau tua [[1900]], pan ddarganfuwyd bod rhai dehongliadau o'r theori wedi arwain at sawl gwrthddywediad, o'r enw gwrthinomau neu [[Paradocs|baradocsau]]. Daeth  y Cymro[[Bertrand Russell]] ac Ernst Zermelo o hyd i'r paradocs symlaf a mwyaf adnabyddus, a elwir bellach yn [[Paradocs Russell|baradocs Russell]]: ystyriwch "set yr holl setiau nad ydyn nhw'n aelodau ohonyn nhw eu hunain", sy'n arwain at wrthddywediad gan fod yn rhaid iddo fod yn ddau beth: yn aelod ohono'i hun ac nid a aelod ohono'i hun. Yn 1899, roedd Cantor ei hun wedi gofyn y cwestiwn "Beth yw [[rhif prifol]] set yr holl setiau?", a thrwy hyn wedi sicrhau paradocs cysylltiedig. Defnyddiodd Russell ei baradocs fel thema yn ei adolygiad ym 1903 o fathemateg gyfandirol yn ei ''The Principles of Mathematics''. Yn hytrach na'r term a ''osodwyd'', defnyddiodd Russell y term Dosbarth, a ddefnyddiwyd yn fwy technegol wedi hynny.

Ym 1906, ymddangosodd y term ''set'' yn y llyfr ''Theory of Sets of Points''<ref>{{Citation|last=Young|first=William|title=Theory of Sets of Points|url=https://archive.org/stream/theoryofsetsofpo00youniala#page/n3/mode/2up|year=1906|publisher=Cambridge University Press|last2=Young|first2=Grace Chisholm|author-link=William Henry Young|author-link2=Grace Chisholm Young}}</ref> gan ŵr a gwraig William Henry Young a Grace Chisholm Young, a gyhoeddwyd gan Cambridge University Press .

Roedd momentwm y trafodaethau ynghylch damcaniaeth setiau yn golygu nad anghofiwyd y ddadl ar y paradocsau. Arweiniodd gwaith Zermelo ym 1908 a gwaith Abraham Fraenkel a Thoralf Skolem ym 1922 at y set o wirebau [[ZFC]], a ddaeth yn set o wirebau a ddefnyddir amlaf ar gyfer damcaniaeth setiau. Dangosodd gwaith [[Dadansoddi real|dadansoddwyr]], fel Henri Lebesgue, ddefnyddioldeb mathemategol y ddamcaniaeth setiau, sydd bellach wedi ei blethu i wead mathemategol fodern. Defnyddir damcaniaeth setiau yn gyffredin fel system sylfaen, er mewn rhai meysydd - fel [[Geometreg algebraidd|geometreg]] algebraidd a thopoleg algebraidd - credir bod y [[theori categori]] yn sylfaen fwy addas.

== Cysyniadau a nodiant sylfaenol ==
Mae damcaniaeth setiau yn dechrau gyda [[Perthynas ddeuaidd|pherthynas ddeuaidd]] sylfaenol rhwng gwrthrych o a set {{math|''A''}}, Os yw ''{{math|''o''}}'' yn ''[[Elfen (mathemateg)|aelod]]'' (neu'n ''elfen'') o {{math|''A''}}, defnyddir y nodiant {{math|''o'' ∈ ''A''}}. Disgrifir set trwy restru elfennau'r set, wedi'u gwahanu gan atalnodau, neu grwpio elfennau tebyg o fewn {}.<ref>{{Cite web|title=Introduction to Sets|url=https://www.mathsisfun.com/sets/sets-introduction.html|access-date=2020-08-20|website=www.mathsisfun.com}}</ref> Gan fod setiau yn wrthrychau, gall y berthynas rhwng yr aelodau hefyd gysylltu setiau a'i gilydd.

Perthynas ddeuaidd ddeilliedig rhwng dwy set yw'r berthynas rhwng yr is-setiau, a elwir hefyd yn ''gynhwysiant y set'' (set ''inclusion\)''. Os yw holl aelodau set {{math|''A''}} hefyd yn aelodau o set {{math|''B''}}, yna mae {{math|''A''}} yn ''is''-set o {{math|''B''}}, a ddynodir fel {{math|''A'' ⊆ ''B''}}. Er enghraifft, mae {1, 2} yn is-set o {1, 2, 3}, ac felly hefyd {2} ond nid yw {1, 4}. Fel yr awgrymir gan y diffiniad hwn, mae set yn is-set ohono'i hun. Ar gyfer achosion lle mae'r posibilrwydd hwn yn anaddas neu lle byddai'n gwneud synnwyr ei wrthod, diffinnir y term fel ''is-set briodol.'' Mae {{math|''A''}} yn is- ''set briodol'' o {{math|''B''}} [[Os a dim ond os|os ac yn unig os]] yw {{math|''A''}} yn is-set o {{math|''B''}}, ond nid yw {{math|''A''}} yn hafal i {{math|''B''}}. Hefyd, mae 1, 2, a 3 yn aelodau (elfennau) o'r set {1, 2, 3}, ond nid ydyn nhw'n is-setiau ohoni; ac yn eu tro, nid yw'r is-setiau, fel {{math|{1}}}, yn aelodau o'r set {{math|{1, 2, 3}}}.

Yn yr un modd ag y mae [[rhifyddeg]] yn cynnwys gweithrediadau deuaidd ar [[Rhif|rifau]], mae damcaniaeth setiau yn cynnwys gweithrediadau deuaidd ar setiau.<ref>{{Citation|last=Kolmogorov|first=A.N.|title=Introductory Real Analysis|url=https://archive.org/details/introductoryreal00kolm_0/page/2|pages=[https://archive.org/details/introductoryreal00kolm_0/page/2 2–3]|year=1970|edition=Rev. English|place=New York|publisher=Dover Publications|isbn=0486612260|oclc=1527264|last2=Fomin|first2=S.V.|author-link=Andrey Kolmogorov|author-link2=Sergei Fomin}}</ref> Mae'r canlynol yn rhestr rannol ohonynt:

* ''[[Uniad setiau|Uniad]]'' (''union'') y setiau {{math|''A''}} a {{math|''B''}}, a ddynodir fel {{math|''A'' ∪ ''B''}}, yw'r set o'r holl wrthrychau sy'n aelod o {{math|''A''}}, neu {{math|''B''}}, neu'r ddau.<ref>{{Cite web|title=set theory {{!}} Basics, Examples, & Formulas|url=https://www.britannica.com/science/set-theory|access-date=2020-08-20|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref> Er enghraifft, cyswllt {1, 2, 3} a {2, 3, 4} yw'r set {1, 2, 3, 4}.
* ''[[Croestoriad (damcaniaeth setiau)|Croestoriad]]'' (''intersection'') y setiau {{math|''A''}} a {{math|''B''}}, a ddynodir fel  {{math|''A'' ∩ ''B''}}, yw'r set o'r holl wrthrychau sy'n aelodau o {{math|''A''}} a {{math|''B''}} .Er enghraifft, croestoriad {1, 2, 3} a {2, 3, 4} yw'r set {2, 3}.
* ''Gwahaniaeth (neu 'cyflenwad?) set'' {{math|''U''}} ac A, a ddynodir fel {{math|''U'' \ ''A''}}, yw set holl aelodau {{math|''U''}} nad ydynt yn aelodau o {{math|''A''}}. Y gwahaniaeth set {1, 2, 3} \ {2, 3, 4}  yw {1}, ond i'r gwrthwyneb, y gwahaniaeth gosod {2, 3, 4} \ {1, 2, 3} yw {4}. Pan fo {{math|''A''}} yn is-set o {{math|''U''}}, gelwir y gwahaniaeth set {{math|''U'' \ ''A''}} hefyd yn ''wahaniaeth / gyflenwad'' {{math|''A''}} yn {{math|''U''}}. Yn yr achos hwn, os yw'r dewis o {{math|''U''}} yn glir o'r cyd-destun, weithiau defnyddir {{math|''A''<sup>''c''</sup>}}, yn hytrach na {{math|''U'' \ ''A''}}, yn enwedig os yw {{math|''U''}}  yn set gyffredinol (''universal set'') fel yn yr astudiaeth o [[Diagram Venn|ddiagramau Venn]].
* ''Gwahaniaeth cymesur'' setiau {{math|''A''}} a {{math|''B''}}, a ddynodir fel {{math|''A'' △ ''B''}} neu {{math|''A'' ⊖ ''B''}}, yw set yr holl wrthrychau sy'n aelod o naill ai {{math|''A''}} a {{math|''B''}}. Er enghraifft, ar gyfer y setiau {1, 2, 3} a {2, 3, 4}, y set gwahaniaeth cymesur yw {1, 4}. Mae'n set gwahaniaeth  o'r cyswllt a'r croestoriad, {{math|(''A'' ∪ ''B'') \ (''A'' ∩ ''B'')}} neu {{math|(''A'' \ ''B'') ∪ (''B'' \ ''A'')}}.
* ''[[Cynnyrch Cartesaidd|Y cyfanswm Cartesaidd]]'' {{math|''A''}} a {{math|''B''}}, a ddynodir fel  {{math|''A'' × ''B''}}, yw'r set y mae ei aelodau i gyd yn barau trefnus {{math|(''a'', ''b'')}}, lle mae {{math|''a''}} yn aelod o {{math|''A''}}, a {{math|''b''}} yn aelod o {{math|''B''}}. Er enghraifft, cyfanswm Cartesaidd .{{nowrap|{1, 2} a {red, white} yw {(1, red), (1, gwyn), (2, coch), (2, gwyn)}.}}
* ''Set bŵer'' o set {{math|''A''}}, wedi'i dynodi fel <math>\mathcal{P}(A)</math>, yw'r set y mae ei haelodau i gyd yn is-setiau posib {{math|''A''}}. Er enghraifft, set [[Esbonydd|pŵer]] {{math|{1, 2}}} yw {{math|{ {}, {1}, {2}, {1, 2} }}}.

Ymhlith y setiau pwysicaf y mae'r set o [[Rhif naturiol|rifau naturiol]], y set o [[Rhif real|rifau real]] a'r set wag - y set unigryw sy'n cynnwys dim elfennau. Weithiau gelwir y set wag yn set ''nwl'',<ref>{{Citation|last=Bagaria|first=Joan|title=Set Theory|date=2020|url=https://plato.stanford.edu/archives/spr2020/entries/set-theory/|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|periodical=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|edition=Spring 2020|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|access-date=2020-08-20}}</ref> er bod yr enw hwn yn amwys a gall arwain at sawl dehongliad.

== Ontoleg ==
[[Delwedd:Von_Neumann_Hierarchy.svg|de|bawd|310x310px| Rhan gychwynnol hierarchaeth von Neumann]]
Mae set yn bur os yw ei holl aelodau'n setiau, ac mae pob aelod o'i aelodau'n setiau.. ac ati. Er enghraifft, mae'r set {{math|{{}}}} sy'n cynnwys y set wag yn unig yn set bur nad-yw'n-wag. Mewn damcaniaeth setiau fodern, mae'n gyffredin cyfyngu sylw i setiau pur ''bydysawd von Neumann'', ac mae llawer o systemau damcaniaeth setiau gwirebol wedi'u cynllunio i wirebu'r setiau pur yn unig. Mae yna lawer o fanteision technegol i'r cyfyngiad hwn, ac ychydig o gyffredinolrwydd yn cael ei golli, oherwydd yn y bôn gellir modelu pob cysyniad mathemategol gan setiau pur. Mae setiau ym mydysawd von Neumann wedi'u trefnu'n hierarchaeth gronnus (''cumulative hierarchy''), yn seiliedig ar ba mor ddwfn y mae eu haelodau, aelodau ei aelodau, ac ati yn nythu. Neilltuir [[Trefnolyn|trefnolion]] bob set yn yr hierarchaeth hon (trwy anwythiad trawsffiniol) <math>\alpha</math>, a elwir ei ''reng.'' Diffinnir rheng y set bur <math>X</math> fel y trefnolyn lleiaf sy'n uwch na rheng unrhyw un o'i elfennau. Er enghraifft, rhoddir safle 0 i'r set wag, tra bod y set  {{math|{{}}}} (sy'n cynnwys y set wag yn unig) yn cael ei phenodi i safle 1. Ar gyfer pob trefnolyn <math>\alpha</math>, diffinnir set <math>V_{\alpha}</math> i gynnwys pob set bur gyda rheng llai na <math>\alpha</math>. Dynodir y bydysawd von Neumann gyfan fel&nbsp;<math>V</math>.

== Damcaniaeth set ffurfiol ==
Gellir astudio damcaniaeth setiau elfennol yn anffurfiol ac yn reddfol, ac felly gellir ei dysgu mewn ysgolion cynradd gan ddefnyddio [[Diagram Venn|diagramau Venn]]. Mae'r dull greddfol yn cymryd yn ganiataol y gellir ffurfio set ddosbarth o'r holl wrthrychau sy'n bodloni unrhyw amod diffiniol penodol. Mae'r dybiaeth hon yn arwain at baradocsau, a'r symlaf a'r mwyaf adnabyddus ohonynt yw [[paradocs Russell]] a pharadocs Burali-Forti. Dyfeisiwyd [[damcaniaeth setiau gwirebol]] yn wreiddiol i gael gwared ar y paradocsau ym myd damcaniaeth setiau.{{NoteTag| Yn ei bapur yn 1925 ''An Axiomatization of Set Theory ", Sylwodd [[John von Neumann]] fod" gosod theori yn ei fersiwn "naïf" gyntaf, oherwydd Cantor, wedi arwain at wrthddywediadau. Dyma'r ''antinomies'' adnabyddus yn y set o bob set nad ydyn nhw'n cynnwys eu hunain (Russell), o'r set o'r holl rifau trefnol trawsffiniol (Burali-Forti), a'r set o bob real y gellir ei ddiffinio'n derfynol yn rhifau real (Richard)." A rhagddo i arsylwi bod dau "duedd" yn ceisio ailsefydlu damcaniaeth setiau. O'r ymdrech gyntaf, a ddangosir gan [[Bertrand Russell]], [[Julius König]], [[Hermann Weyl]] a [[LEJ Brouwer]], von Neumann o'r enw ''the overall effect of their activity . . . devastating".

O ran y dull gwirebol a ddefnyddir gan ail grŵp sy'n cynnwys Zermelo, Fraenkel a Schoenflies, roedd von Neumann yn poeni" Ni welwn ond bod y dulliau casglu hysbys sy'n arwain at yr antinomïau yn methu, ond pwy a ŵyr lle nad oes eraill? "ac fe osododd at y dasg," yn ysbryd yr ail grŵp ", i" gynhyrchu, trwy nifer gyfyngedig o weithrediadau cwbl ffurfiol. . . yr holl setiau yr ydym am eu gweld yn cael eu ffurfio "ond heb ganiatáu ar gyfer yr antinomïau. (Ailargraffwyd yr holl ddyfyniadau o von Neumann 1925 yn van Heijenoort, Jean (1967, trydydd argraffiad 1976), '' From Frege to Gödel: A Source Book in Matamataical Logic, 1879–1931 '', Gwasg Prifysgol Harvard, Caergrawnt MA, {{ISBN | 0-674-32449-8}} (pbk). Gellir gweld crynodeb o'r hanes, a ysgrifennwyd gan van Heijenoort, yn y sylwadau a rhagflaenu papur 191 Neumann 195.}}

== Cymhwyso ==
Gellir diffinio llawer o gysyniadau mathemategol yn union gan ddefnyddio cysyniadau damcaniaethol penodol yn unig. Er enghraifft, gellir diffinio strwythurau mathemategol mor amrywiol â [[Graff (mathemateg arwahanol)|graffiau]], [[Manifolds|maniffoldiau]], [[Modrwy (mathemateg)|cylchoedd]], [[Gofod fector|gofodau fector]], ac [[Algebra perthynol|algebrâu perthynol]] i gyd fel setiau sy'n bodloni priodweddau gwirebol, amrywiol. Mae cywerthedd a pherthynas trefn (''order relations'') yn hollbresennol mewn [[mathemateg]], a gellir disgrifio theori perthynas mathemategol mewn damcaniaeth setiau. 

Fel a nodwyd yn barod, mae damcaniaeth setiau hefyd yn system sylfaen addawol ar gyfer llawer o fathemateg. Ers cyhoeddi cyfrol gyntaf ''[[Principia Mathematica]]'' gan [[Bertrand Russell]] yn 1910, honnwyd y gellir deillio’r mwyafrif (neu hyd yn oed) o ddamcaniaethau mathemategol gan ddefnyddio set o [[Gwireb (mathemateg)|wirebau]] a ddyluniwyd yn briodol ar gyfer y ddamcaniaeth setiau, ynghyd â llawer o ddiffiniadau, gan ddefnyddio rhesymeg gorchymyn cyntaf neu ail-drefn. . Er enghraifft, gellir deillio priodweddau'r [[Rhif naturiol|rhifau naturiol]] a [[Rhifau real|rhifau]] [[Rhif real|real]] o fewn damcaniaeth setiau, oherwydd gellir nodi pob system rif gyda set o ddosbarthiadau cywerth o dan berthynas cywerthedd addas, sydd a'i faes yn set anfeidrol. 

Mae damcaniaeth setiau fel sylfaen ar gyfer [[Dadansoddiad mathemategol|dadansoddi mathemategol]], [[topoleg]], [[algebra haniaethol]], a [[mathemateg arwahanol]] (''discrete mathematics'') yn ddadleuol yn yr un modd; mae mathemategwyr yn derbyn (mewn egwyddor) y gall theoremau yn y meysydd hyn ddeillio o'r diffiniadau perthnasol a gwirebau damcaniaeth setiau. Fodd bynnag, erys mai ychydig o ddeilliadau llawn o theoremau mathemategol cymhlyg o ddamcaniaeth setiau sydd wedi'u dilysu'n ffurfiol, gan fod deilliadau ffurfiol o'r fath yn aml yn llawer hirach na'r proflenni iaith naturiol y mae mathemategwyr yar hyn o bryd yn eu cyflwyno. Mae un prosiect gwirio, Metamath, yn cynnwys deilliadau wedi'u hysgrifennu gan bobl ac wedi'u gwirio gan gyfrifiadur, o fwy na 12,000 o theoremau gan ddechrau o ddamcaniaeth setiau ZFC, rhesymeg trefn gyntaf a [[Rhesymeg osodiadol|r]][[Rhesymeg osodiadol|hesymeg osodiadol]]. 

== Meysydd astudio ==
Mae damcaniaeth setiau yn faes ymchwil mawr mewn mathemateg, gyda llawer o is-feysydd cydberthynol.

=== Damcaniaeth set gyfuniadol ===
Mae damcaniaeth setiau gyfuniadol yn ymwneud ag estyn [[Cyfuniadeg|cyfuniadau]] cyfyngedig i setiau anfeidrol, ac mae'n cynnwys astudio [[Rhif prifol|rhifyddeg prifol]] ac astudio estyniadau i theorem Ramsey ee theorem Erdős-Rado. Mae damcaniaeth setiau estyniad dwbl (DEST) yn damcaniaeth setiau gwirebol a gynigiwyd gan Andrzej Kisielewicz sy'n cynnwys dau aelod perthynol ar wahân ar fydysawd setiau.

=== Damcaniaeth set ddisgrifiadol ===
''Damcaniaeth set ddisgrifiadol'' yw'r astudiaeth o is-setiau o'r llinell real ac, yn fwy cyffredinol, is-setiau o ofodau Pwylaidd. Mae'n dechrau gyda'r astudiaeth o ddosbarthiadau pwynt (''pointclasses'') yn hierarchaeth Borel ac yn ymestyn i astudio hierarchaethau mwy cymhleth fel yr hierarchaeth dafluniol ac hierarchaeth Wadge. Gellir sefydlu llawer o briodweddau setiau Borel yn ZFC, ond mae profi bod yr eiddo hyn yn dal ar gyfer setiau mwy cymhleth yn gofyn am axiomau ychwanegol sy'n gysylltiedig â phenderfyniaeth a chardinaliaid mawr.

=== Damcaniaeth set niwlog ===
Mewn damcaniaeth setiau fel y [[Georg Cantor|diffiniodd Cantor]] a'i wirebu gan Zermelo a Fraenkel, mae gwrthrych naill ai'n aelod o set ai peidio. Mewn ''damcaniaeth setiau niwlog'' llaciwyd yr amod  hwn gan [[Lotfi A. Zadeh]]. Oherwydd hyn, mae gan wrthrych ''rywfaint o aelodaeth'' mewn set, nifer rhwng 0 ac 1. Er enghraifft, mae graddfa aelodaeth person o fewn y set o "bobl dal" yn fwy hyblyg nag ateb ie neu na syml a gall fod yn rhif go iawn fel 0.75.

Roedd y mathemategydd Cymreig Mary Wynne Warner ([[22 Mehefin]] [[1932]] – [[1 Ebrill]] [[1998]]) yn arbenigo mewn '''mathemateg niwlog''' (''fuzzy mathematics'').<ref>M. W. Warner, "Fuzzy topology with respect to continuous lattices," ''Fuzzy Sets and Systems'' 35(1)(1990): 85–91. doi:10.1016/0165-0114(90)90020-7</ref><ref>M. W. Warner, [https://books.google.com/books?id=s5iqCAAAQBAJ&pg=PA83&lpg=PA83&dq=%22fuzzy+topology%22+Warner&source=bl&ots=mHoYknfPdN&sig=7uVAvNdM65FELsQioio8eYGjFro&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwjLwf_5q-zLAhUS_mMKHeKWCbUQ6AEIRjAF#v=onepage&q=%22fuzzy%20topology%22%20Warner&f=false "Towards a Mathematical Theory of Fuzzy Topology"] in R. Lowen and M. R. Roubens, eds., ''Fuzzy Logic: State of the Art'' (Springer 1993): 83–94. {{isbn|9789401048903}}</ref> Nododd ei hysgrif goffa ym ''Mwletin Cymdeithas Fathemategol Llundain'' mai topoleg niwlog oedd "y maes lle'r oedd hi'n un o'r arloeswyr ac fe'i cydnabyddir fel un o'r bobl flaenllaw dros y tri deg mlynedd ddiwethaf."<ref name="Obit1">I. M. James and A. R. Pears, [http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=128991 "Obituary: Mary Wynne Warner (1932–1998)"] ''Bulletin of the London Mathematical Society'' 34(6)(December 2001): 745–752. DOI: 10.1112/S0024609302001467</ref>

=== Prifolion mawr ===
Mae ''prifolyn mawr'' (''large cardinal'') yn [[rhifolyn]] gydag phriodweddau ychwanegol. Astudir llawer o briodweddau o'r fath, gan gynnwys rhifolion anhygyrch, rhifolion mesuradwy a llawer mwy. Mae'r priodweddau hyn fel rheol yn awgrymu bod yn rhaid i'r rhifolyn fod yn fawr iawn. Hynny yw, mae'r prifolion mawr yn fath penodol o briodwedd o [[Rhif prifol|rifau prifol]] trawsffiniol ac maent, fel yr awgryma'r enw, yn gyffredinol yn "fawr" (er enghraifft, yn fwy na'r α lleiaf fel α=ω<sub>α</sub>). Ni ellir profi'r cynnig bod rhifolion o'r fath yn bodoli yn y gwirebu (''axiomatization'') mwyaf cyffredin o theori setiau, sef [[ZFC]], a gellir ystyried cynigion o'r fath fel ffyrdd o fesur "faint" y tu hwnt i ZFC sydd angen tybio y gellir profi'r rhai o'r canlyniadau a ddymunir. Mewn geiriau eraill, gellir eu gweld, yn ymadrodd Dana Scott, fel meintioli'r ffaith "os ydych chi eisiau mwy mae'n rhaid i chi dybio mwy" (''"if you want more you have to assume more"'').<ref>{{Cite book|last=Bell|first=J.L.|title=Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory|url=https://archive.org/details/booleanvaluedmod0000bell|pages=viii|publisher=Oxford University Press|year=1985|isbn=0-19-853241-5|nopp=true}}</ref>

Mae yna gonfensiwn bras y gellir nodi canlyniadau y gellir eu profi o ZFC yn unig heb ragdybiaethau, ond os yw'r prawf yn gofyn am ragdybiaethau eraill (megis bodolaeth y prifolion mawr), dylid nodi'r rhain. Mae p'un a yw hyn yn gonfensiwn ieithyddol, neu'n rhywbeth mwy, yn bwynt dadleuol ymhlith ysgolion athronyddol gwahanol.

Mae'r '''prifoliyn mawr gwirebol''' yn wireb sy'n nodi bod gan y prifolyn neu'r prifolion rywfaint o briodweddau'r prifolyn mawr penodol.

==Penderfyniaeth==
Mae ''penderfyniaeth'' (''determinacy'') yn cyfeirio at y ffaith, o dan ragdybiaethau priodol, bod rhai gemau dau chwaraewr o wybodaeth berffaith yn cael eu pennu o'r dechrau yn yr ystyr bod yn rhaid i un chwaraewr fod â strategaeth fuddugol.<ref>{{cite book|last=Soare|first=Robert I.|author-link = Robert Soare|title=Turing Computability: Theory and Applications|year=2016|isbn=978-3-6423-1932-7|pages=217ff}}</ref><ref>{{cite book|last=Kechris|first=Alexander S.|author-link=Alexander Kechris|title=Classical Descriptive Set Theory|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-94374-9|year=1995|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=156|page=[https://archive.org/details/classicaldescrip0000kech/page/52 52]|url=https://archive.org/details/classicaldescrip0000kech/page/52}}</ref> Mae bodolaeth y strategaethau hyn yn arwain at ganlyniadau pwysig mewn theori set ddisgrifiadol, gan fod y dybiaeth bod dosbarth ehangach o gemau yn aml yn awgrymu y bydd gan ddosbarth ehangach o setiau briodwedd [[topoleg]]ol. Mae [[Axiom penderfyniaeth|wireb benderfyniaeth]] (''axiom of determinacy'') yn wrthrych pwysig a astudir yn helaeth; er ei fod yn anghydnaws â'r wireb o ddewis, mae wireb hon yn ei awgrymu, bod holl is-setiau'r llinell real yn ymddwyn yn dda (yn benodol, yn fesuradwy a chyda'r priodwedd set perffaith). Gellir defnyddio'r wireb benderfyniaeth i brofi bod gan graddau Wadge strwythur cain.<ref name="Infinite Games">[https://www.math.uni-hamburg.de/home/khomskii/infinitegames2010/Infinite%20Games%20Sofia.pdf https://www.math.uni-hamburg.de/Infinite Games, Yurii Khomskii (2010)] Infinite Games, Yurii Khomskii (2010)</ref><ref>[https://www.youtube.com/watch?v=PN-I6u-AxMg "Infinite Chess, PBS Infinite Series"] PBS Infinite Series, with sources including academic papers by J. Hamkins (infinite chess:: https://arxiv.org/abs/1302.4377 and https://arxiv.org/abs/1510.08155).</ref><ref>
{{cite journal
|title=SET THEORY OF INFINITE IMPERFECT INFORMATION
|publisher= CiteSeerX
|year= 2006
|author=Benedikt Löwe|citeseerx = 10.1.1.76.7976|author-link= Benedikt Löwe
}}
</ref>

== Y ddamcaniaeth setiau mewn addysg ==
Wrth i ddamcaniaeth setiau ennill ei blwyf fel sylfaen ar gyfer mathemateg fodern, bu cefnogaeth i'r syniad o gyflwyno hanfodion y ddamcaniaeth setiau naïf yn y blynyddoedd cynnar.

Yn yr UD yn y [[1960au]], nod yr arbrawf 'Math Newydd' (New Math) oedd dysgu damcaniaeth setiau sylfaenol, ymhlith cysyniadau haniaethol eraill, i [[Ysgol gynradd|ddisgyblion cynradd]], ond cafodd ei feirniadu'n hallt gan lawer. Dilynwyd hyn gan faes llafur mathemateg rhai ysgolion Ewropeaidd, ac ar hyn o bryd mae'n cynnwys y pwnc ar wahanol lefelau ym mhob gradd ac oedran. Defnyddir [[Diagram Venn|diagramau Venn]] yn eang i egluro perthnasoedd setiau-theoretig [[Ysgol gynradd|sylfaenol i fyfyrwyr ysgolion cynradd]] (er i John Venn eu dyfeisio'n wreiddiol fel rhan o weithdrefn i asesu dilysrwydd casgliadau mewn term rhesymeg).

Defnyddir damcaniaeth setiau i gyflwyno myfyrwyr i weithredwyr rhesymegol (NID, AC, NEU), a disgrifiadau semantig o setiau (ee "misoedd gan ddechrau gyda'r llythyren ''A''"), a allai fod yn ddefnyddiol wrth ddysgu [[rhaglennu cyfrifiadurol]], gan fod [[Rhesymeg Boole|rhesymeg boolean]] yn cael ei ddefnyddio mewn amryw o [[Iaith raglennu|ieithoedd rhaglennu]].<ref name="Ruda2011">{{Cite book|last=Frank Ruda|title=Hegel's Rabble: An Investigation into Hegel's Philosophy of Right|url=https://books.google.com/books?id=VV0SBwAAQBAJ&pg=PA151|date=6 Hydref 2011|publisher=Bloomsbury Publishing|isbn=978-1-4411-7413-0|page=151}}</ref>  Yn yr un modd, mae setiau a gwrthrychau eraill a gesglir ee aml-setiau (''multisets'') a rhestrau, yn fathau o ddata cyffredin mewn [[Cyfrifiadureg|gwyddoniaeth gyfrifiadurol]] a rhaglennu.

Yn ogystal â hynny, cyfeirir yn aml at setiau mewn addysgu mathemategol wrth siarad am wahanol fathau o rifau ({{math|'''N'''}}, {{math|'''Z'''}}, {{math|'''R'''}}, ...), ac wrth ddiffinio [[Ffwythiant|ffwythiant mathemategol]] fel perthynas o un set (y [[Parth y ffwythiant|parth]]) i set arall (yr ystod).

== Nodiadau ==
{{NoteFoot}}

== Darllen pellach ==

* {{Citation|last=Devlin|first=Keith|title=The Joy of Sets|year=1993|edition=2nd|publisher=Springer Verlag|isbn=0-387-94094-4|author-link=Keith Devlin}}
* {{Citation|last=Ferreirós|first=Jose|title=Labyrinth of Thought: A history of set theory and its role in modern mathematics|year=2007|place=Basel|publisher=Birkhäuser|isbn=978-3-7643-8349-7}}
* {{Citation|last=Johnson|first=Philip|title=A History of Set Theory|url=https://archive.org/details/mathematicalcirc0000eves_x3z6|year=1972|publisher=Prindle, Weber & Schmidt|isbn=0-87150-154-6}}
* {{Citation|last=Kunen|first=Kenneth|title=[[Set Theory: An Introduction to Independence Proofs]]|year=1980|publisher=North-Holland|isbn=0-444-85401-0|author-link=Kenneth Kunen}}
* {{Citation|last=Monk|first=J. Donald|title=Introduction to Set Theory|year=1969|publisher=McGraw-Hill Book Company|isbn=978-0898740066}}
* {{Citation|last=Potter|first=Michael|title=Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction|year=2004|publisher=[[Oxford University Press]]}}
* {{Citation|last=Smullyan|first=Raymond M.|title=Set Theory And The Continuum Problem|year=2010|publisher=[[Dover Publications]]|isbn=978-0-486-47484-7|last2=Fitting|first2=Melvin|author-link=Raymond Smullyan}}
* {{Citation|last=Tiles|first=Mary|title=The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise|url=https://books.google.com/books?id=02ASV8VB4gYC|year=2004|publisher=[[Dover Publications]]|isbn=978-0-486-43520-6|author-link=Mary Tiles}}

== Dolenni allanol ==

* Daniel Cunningham, [http://www.iep.utm.edu/set-theo/ erthygl ar y ddamcaniaeth setiau] yn y ''Gwyddoniadur Rhyngrwyd o Athroniaeth'' .
* Jose Ferreiros, [https://plato.stanford.edu/entries/settheory-early/ erthygl The Early Development of Set Theory] yn y ''Stanford Encyclopedia of Philosophy'' .
* Fforman, Matthew, Akihiro Kanamori, gol. ''[http://handbook.assafrinot.com/ Llawlyfr Damcaniaeth Setiau.]'' 3 cyfrol., 2010. Mae pob pennod yn arolygu rhyw agwedd ar ymchwil gyfoes mewn damcaniaeth setiau. Nid yw'n ymdrin â damcaniaeth setiau elfennol sefydledig, y mae Devlin (1993) yn ei defnyddio.
* "Axiomatic set theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994] 
* "Set theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
* Schoenflies, Arthur (1898). [https://archive.org/stream/encyklomath101encyrich#page/n229 Mengenlehre] yn gwyddoniadur Klein .
* {{Cite web|first=Walter B.|last=Rudin|authorlink=Walter Rudin|date=April 6, 1990|title=Set Theory: An Offspring of Analysis|website=Marden Lecture in Mathematics|location=[[University of Wisconsin-Milwaukee]]|url=https://www.youtube.com/watch?v=hBcWRZMP6xs&list=PLvAAmIFroksMKHv5O4lwpJJzfmUL0cQ7A&index=3|archiveurl=https://web.archive.org/web/20211209043249/https://www.youtube.com/watch?v=hBcWRZMP6xs&list=PLvAAmIFroksMKHv5O4lwpJJzfmUL0cQ7A&index=3|archivedate=2021-12-09|access-date=2021-12-09|url-status=bot: unknown}}

== Cyfeiriadau ==
{{cyfeiriadau}}

== Dolenni allanol ==
* {{eicon en}} [http://www.math.toronto.edu/weiss/set_theory.pdf ''An Introduction to Set Theory''] gan William A. R. Weiss (Prifysgol Toronto)
* {{eicon en}} [http://www.wolframalpha.com/input/?i=set+theory Damcaniaeth setiau] ar y periaint cyfrifiannol WolframAlpha

{{Rheoli awdurdod}}

[[Categori:Damcaniaeth setiau| ]]
[[Categori:Rhesymeg mathemategol]]