Pentagon

Pentagon rheolaidd

Delwedd:Castle holt 2.webm

Pentagon (allanol) a phentagon serennog.

Mewn geometreg, pentagon yw unrhyw siâp pum-ochr neu 5-gon. Mae swm onglau mewnol pob pentagon syml yn 540°. Gall pentagon fod yn syml neu'n hunan-groestori; gelwir pentagram sy'n hunan-groestori yn rheolaidd neu'n 'bentagon serennog' (gweler Pentagram).

Daw'r gair 'pentagon' o'r Groeg πέντε pente a γωνία gonia, sef "pump ac ongl".

Pentagonau rheolaidd

Symbol Schläfli y pentagon rheolaidd yw {5} ac mae pob ongl fewnol yn 108°; mae'n dilyn felly bod

5 x 108 = 540°.

Mae ganddo hefyd 5 llinell cymesuredd tro (neu 'cymesuredd cylchdro'.) a 5 llinell adlewyrchol. Mae croesliniau'r pentagon rheolaidd amgrwm o fewn y 'gymhareb aur', i'w ochrau. Mae ei uchter (y pellter o un ochr i'r fertig cyferbyn) a'i led, yn cael ei dangos fel:

$\text{Uchder}=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}\cdot \text{Ochr}\approx 1.539\cdot \text{Ochr},$

$\text{Lled}=\text{Diagonal}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot \text{Ochr}\approx 1.618\cdot \text{Ochr},$

$\text{Croeslin}=R\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos \frac{\pi }{10}\approx 1.902R,$

lle dynodir R yn radiws yr amgylch.

Gellir dynodi arwynebedd pentagon rheolaidd amgrwm, gydag ochrau o hyd t fel:

$A=\frac{t^2\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}=\frac{5t^2\tan (54^{\circ })}{4}\approx 1.720t^2.$

Defnyddir y gair pentagram (neu 'bentongl') weithiau am yn bentagon serennog. Ei symbol Schläfli yw {5/2}. Mae ei ochrau'n ffurfio croeslinau pentagon rheolaidd amgrwm, ac yn y ffurf hwn mae ochrau'r ddau bentagon o fen y gymhareb aur.

Pan fo'r pentagon rheolaidd o fewn mewngylch, gyda radiws r, yna dynodir hyd ei ochrau t fel:

$t=R\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}=2R\sin 36^{\circ }=2R\sin \frac{\pi }{5}\approx 1.176R,$

a'i arwynebedd yw:

$A=\frac{5R^2}{4}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}};$

gan fod arwynebedd y mewngylch yn $\pi R^2,$ mae'r pentagon rheolaidd yn llenwi tua 0.7568 o'i fewngylch.

Deilliant o fformiwla ei arwynebedd

Arwynebedd pob polygon rheolaidd yw :

$A=\frac{1}{2}Pr$

lle dynodir P fel perimedr y polygon ac r yw'r mewn- radiws (sy'n hafal i'r apothem). Pe amnewidir gwerthoedd y pentagon rheolaidd p ac r, yna:

$A=\frac{1}{2}\cdot 5t\cdot \frac{t\tan (54^{\circ })}{2}=\frac{5t^2\tan (54^{\circ })}{4}$

gyda hyd yr ochrau yn t.

Mewn-radws

Mae gan bod polygon rheolaidd amgrwm fewngylch. Mae'r apotherm (radiws r y mewngylch) y pentagon rheolaidd yn perthyn i hyd yr ochrau t drwy:

$r=\frac{t}{2\tan (\pi /5)}=\frac{t}{2\sqrt{5-\sqrt{20}}}\approx 0.6882\cdot t.$

Enghreifftiau o bentagram a phentagonau ym myd natur

Planhigion

• 
  Croestoriad o'r ocra.
• 
  Tegwch y bores.
• 
  Gynoeciwm afal, sy'n cynnwys 5 carpel ar ffurf pentagon serennog.
• 
  Y ffrwyth Carambola.

Anifeiliaid

• 
  Seren fôr. Mae gan lawer o'r echinodermau gymesuredd.
• 
  Draenog môr.
• 
  Yr ophiuroids

Mineralau

• 
  Grisial Ho-Mg-Zn
• 
  Grisial pyritohedron crystal of pyrit. Mae ganddo 12 arwyneb polygon.
• 
  Sarn y Cawr, Iwerddon

Artiffisial

• 
  Castell Holt
• 
  Y Pentagon, pencadlys adran "amddiffyn" Unol Daleithiau America.
• 
  Llain cartref pêl-fas