Cyfiau cymhlyg

Diagram Argand yn dangos mewn ffurf geometrig cynrychiolaeth o z a'i gyfiau (conjugate) z̅ yn y plân cymhlyg. Gellir canfod y cyfiau cymhlyg drwy adlewyrchu z ar draws yr echelin real.

Mewn mathemateg cyfiau cymhlyg (Saesneg: complex conjugate) unrhyw rif cymhlyg yw'r rhif gyda rhan real hafal, a rhan dychmygol sy'n hafal mewn maint, ond ag arwydd cyferbyniol. Er enghraifft, cyfiau cymhlyg 3 + 4i yw 3 − 4i.

Yn eu ffurf polar, cyfiau $r{e}^{i\phi }$ yw $r{e}^{-i\phi }$. Gellir dangos hyn drwy ddefnyddio fformiwla Euler.

Mae cyfiau cymhlyg yn bwysig wrth geisio canfod isradd y polynomal (sero'r ffwythiant).

Nodiant

Ysgrifennir cyfiau cymhlyg rhif cymhlyg $z$ fel $\bar{z}$ neu $z^{*}$. Mae'r nodiant cyntaf (y vinculum) yn fwy trefnus. Mewn ffiseg, mae'r ail nodiant yn cael ei ffafrio. Os yw rhif cymhlyg yn cael ei gynrychioli gan fatrics 2x2, mae'r nodiant yr un peth (yn unfath). Mewn rhai testunnau, mae cyfiau cymhlyg rhif a oedd yn wybyddus cyn hynny yn cael ei dalfyrru fel "c.c.". Er enghraifft, mae sgwennu $e^{i\phi }+\text{c.c.}$ yn golygu $e^{i\phi }+e^{-i\phi }$

Nodweddion

Mae'r nodweddion cynlynol yn gymwys ar gyfer pob rhif z a w, oni nodir yn wahanol, a gellir profi hyn drwy sgwennu z a w yn y dull a + ib.

Nodwedd arall o gyfiau cymhlyg, ac sy'n hynod o bwysig, yw fod rhif cymhlyg yn hafal i'w gyfiau cymhlyg os yw ei ran ddychmygol yn sero, h.y. os yw'r rhif cymhlyg yn real.

Ar gyfer unrhyw ddau rif cymhlyg w,z:

$\begin{array}{cc}\overline{z+w}& =\bar{z}+\bar{w}\\ \overline{z-w}& =\bar{z}-\bar{w}\\ \overline{zw}& =\bar{z}\bar{w}\\ \overline{\left(\frac{z}{w}\right)}& =\frac{\bar{z}}{\bar{w}},\text{if }w\ne 0\\ \bar{z}& =z\iff z\in ℝ\\ \overline{z^n}& ={\left(\bar{z}\right)}^n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}\\ \left|\bar{z}\right|& =\left|z\right|\\ {\left|z\right|}^2& =z\bar{z}=\bar{z}z\\ \overline{\stackrel{‾}{z}}& =z\\ z^{-1}& =\frac{\bar{z}}{{\left|z\right|}^2},\mathrm{\forall }z\ne 0\end{array}$

Y berthynas olaf ond un yw infolytedd h.y. cyfiau cyfiau y rif cymhlyg z yw z.