Gwerth absoliwt

Y graff o ffwythiant y 'gwerth absoliwt' o unrhyw rif real.

Gellir ystyried gwerth absoliwt unrhyw rif fel y pellter rhyngddo â sero.

Mewn mathemateg, gwerth absoliwt Nodyn:Math unrhyw rif real Nodyn:Mvar yw gwerth annegatif Nodyn:Mvar heb unrhyw ystyriaeth i'w Arwydd. Felly, Nodyn:Math ar gyfer positif Nodyn:Mvar, Nodyn:Math ar gyfer y negatif Nodyn:Mvar (sy'n gwneud Nodyn:Math yn bositif) a Nodyn:Math. Er enghraifft, gwerth absoliwt 3 yw 3 a gwerth absoliwt -3 hefyd yw 3. Gellir ystyried gwerth absoliwt unrhyw rif fel y pellter rhyngddo â sero. Yr hen derm am y gwerth absoliwt oedd modulus.

Mae cyffredinoli ynghylch y gwerth absoliwt yn digwydd mewn llawer o feysydd. Er enghraifft, ceir diffiniad o'r gwerth absoliwt yn nhermau rhifau cymhlyg, y cwaternion/au, cylchoedd trefnedig a gofod fectoraidd. Mae'r syniad o werth absoliwt yn perthyn yn agos i faint, a meintiau, pellter a norm, yng nghyd destun mathemateg a ffiseg.

Diffiniad a nodweddion

Rhifau real

Ar gyfer rhif real Nodyn:Mvar, dynodir gwerth absoliwt Nodyn:Mvar gan Nodyn:Math (beipen fertigol o boptu'r maint), ac a gaiff ei diffinio fel:

$|x|=\{\begin{array}{cc}x,& \text{if }x\ge 0\\ -x,& \text{if }x<0.\end{array}$

Felly, mae gwerth absoliwt Nodyn:Mvar, bob tro, naill ai'n bositif neu'n sero, ond byth yn negatif. Pan fo Nodyn:Mvar ei hun yn negatif (Nodyn:Math), yna mae ei werth absoliwt o reidrwydd yn bositif (Nodyn:Math).

Rhifau cymhlyg

Gwerth absoliwt unrhyw rif cymhlyg  $z$ yw'r pellter $r$ o $z$ o'i darddiad.

Gan nad yw rhifau cymhlyg yn drefnedig, mae'r diffiniad uchod yn berthnasol i rifau real, ond yn amherthnasol i rifau cymhlyg. Diffinnir gwerth absoliwt rhifau cymhlyg fel ei bellter Ewclidaidd o'i bwyntiau cyfatebol yn y plân cymhlyg o'i darddiad. Gellir cyfrifo hyn drwy ddefnyddio Theorem Pythagoras; ar gyfer unrhyw rif cymhlyg:

$z=x+iy,$

lle mae Nodyn:Mvar ac Nodyn:Mvar yn rhifau real, dynodir gwerth absoliwt Nodyn:Mvar gan Nodyn:Math ac fe'i diffinnir gan

$|z|=\sqrt{[\mathrm{R}\mathrm{e}(z){]}^2+[\mathrm{I}\mathrm{m}(z){]}^2}=\sqrt{x^2+y^2},$

lle mae Re(z) = x a Im(z) = y yn dynodi rhannau real a dychmygol z, yn ôl eu trefn. Pan fo'r rhan dychmygol Nodyn:Mvar yn sero, ceir cyd-daro gyda diffiniad gwerth absoliwt y rhif real Nodyn:Mvar.

Hanes

Cyflwynodd y mathemategydd Jean-Robert Argand y term Ffrangeg module i olygu uned o fesur yn 1806, yn arbennig ar gyfer "gwerth absoliwt 'cymhleth'" a bethyciwyd y term i'r Saesneg (yn ei ffurf Ladin modulus) yn 1866. Cyflwynwyd y nodiant Nodyn:Math, gyda pheipen o'i boptu, gan Karl Weierstrass yn 1841. Mewn cyfrifiadureg, cynrychiolir gwerth absoliwt gan abs(x), neu nodiant debyg.