Gofod Euclidaidd

O fewn gofod 3-dimensiwn, pennir pob pwynt gan dri chyfesuryn.

Mewn geometreg, mae gofod Euclidaidd yn cynnwys y plân Euclidaidd dau ddimensiwn, y gofod tri dimensiwn o geometreg Euclidaidd, a dimensiynau uwch.

Fe'i enwyd ar ôl y mathemategydd Groeg yr Henfyd, Euclid o Alexandria ac mae'r term "Euclidaidd" yn cynnwys gofod 2 a 3-dimensiwn o fewn geometreg Euclidaidd a dimensiynau uwch. Yng nghyfnod y Groegiaid, arferid diffinio'r plân Euclidaidd a'r plân 3-dimensiwn Euclidaidd gyda chynosodiadau (postulates) a'r nodweddion eraill fel theoremau. Defnyddid lluniadau geometrig hefyd i ddiffinio rhifau cymarebol fel cymarebau cyfesur.

Y strwythur Euclidaidd

Y pellter rhwng pwyntiau a'r onglau rhwng llinellau neu fectorau yw'r system hon. Rhaid iddynt fodloni rhai amodau, sy'n peri i'r set o bwyntiau fod yn ofod Euclidaidd. Y dull naturiol o gael y symiau hyn yw drwy gyflwyno (a defnyddio) y cyfanswm safonnol mewnol, a elwir hefyd yn "gyfanswm dot" ar Nodyn:Math. Diffinnir cyfanswm mewnol unrhyw ddau Nodyn:Mvar-fector real Nodyn:Math a Nodyn:Math gan

$𝐱\cdot 𝐲=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n,$

lle mae Nodyn:Mvar a Nodyn:Mvar yn Nodyn:Mvared cyfesuryn o'r fectorau Nodyn:Math a Nodyn:Math yn y drefn honno. Mae'r canlyniad bob tro yn rhif real.

Pellter

Mae cyfanswm mewnol Nodyn:Math gyda'i hun bob amser yn rhif nad yw'n negatif. Mae'r cyfanswm hwn yn caniatau i ni ddiffinio "hyd" y fector Nodyn:Math drwy ail isradd:

$\Vert 𝐱\Vert =\sqrt{𝐱\cdot 𝐱}=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}.$

Mae'r ffwythiant-hyd hwn yn bodloni'r nodweddion sydd ei hangen ar y norm, ac fei'i gelwir yn "norm Euclidaidd" ar Nodyn:Math.

Gellir defnyddio'r norm i ddiffinio metrig (neu ffwythiant-pellter) ar Nodyn:Math drwy

$d(𝐱,𝐲)=\Vert 𝐱-𝐲\Vert =\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}.$

Gelwir y pellter (neu'r hyd) hwn yn "fetrig Euclidaidd".

Ongl

Onglau positif a negatif ar y plân cyfeiriedig.

Mae'r ongl Nodyn:Mvar (Nodyn:Math) rhwng y fectorau Nodyn:Math a Nodyn:Math fel a ganlyn:

$\theta =\arccos \left(\frac{𝐱\cdot 𝐲}{\Vert 𝐱\Vert \Vert 𝐲\Vert }\right)$

lle mae Nodyn:Math yn ffwythiant arcosin. Nodyn:Clirio