Rhesymeg osodiadol

Mewn rhesymeg a mathemateg, mae rhesymeg osodiadol (neu galcwlws gosodiadol) yn system ffurfiol lle gellir ffurfio fformwlâu sy'n cynrychioli gosodiadau trwy gyfuno gosodiadau atomaidd gan ddefnyddio cysylltion rhesymegol, a system o reolau prawf ffurfiol sy'n galluogi dangos fod fformwlâu neilltuol yn "theoremau" o fewn y system.

Mae'r isod yn amlinellu rhesymeg osodiadol safonol. Gellir ffurfio systemau sydd mwy neu lai'n gywerth, ond sy'n amrywio o ran (1) eu hiaith, hynny yw, eu casgliad o symbolau atomaidd a symbolau gweithredyddion, (2) eu set o wirebau, a (3) y set o reolau didwytho.

Disgrifiad cyffredinol o resymeg osodiadol

System ffurfiol, $ℒ=ℒ(\mathrm{A},\mathrm{\Omega },\mathrm{Z},\mathrm{I})$, yw rhesymeg osodiadol, gyda'i fformwlâu wedi eu llunio fel a ganlyn:

• Mae'r set alffa, $\mathrm{A}$, yn set feidraidd o elfennau a gelwir yn neu'n newidynnau gosodiadol. O safbwynt cystrawennol, rhain yw elfennau mwyaf sylfaenol yr iaith ffurfiol $ℒ$, ac fe'u celwir yn fformwlâu atomig yn rhinwedd hynny. Yn yr enghreifftiau a ganlyn, y llythrennau p, q, r ac yn y blaen yw elfennau $\mathrm{A}$.
• Set feidraidd o elfennau a gelwir yn symbolau gweithredyddion yw'r set omega, $\mathrm{\Omega }$. Dosrennir $\mathrm{\Omega }$ yn is-setiau cyd-anghynwysol fel a ganlyn:

$\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_0\cup {\mathrm{\Omega }}_1\cup \dots \cup {\mathrm{\Omega }}_j\cup \dots \cup {\mathrm{\Omega }}_m.$

Yn y dosraniad hwn, ${\mathrm{\Omega }}_j$ yw'r set o symbolau gweithredyddion gydag ol-der $j$.

Mewn rhai rhesymegau gosodiadol cyffredin, dosrennir $\mathrm{\Omega }$ fel a ganlyn:

${\mathrm{\Omega }}_1=\{\mathrm{\neg }\},$

${\mathrm{\Omega }}_2\subseteq \{\wedge ,\vee ,\to ,\leftrightarrow \}.$

Yn aml, caiff gwerth rhesymegol ei drin fel gweithredydd ag ol-der sero, felly:

${\mathrm{\Omega }}_0=\{0,1\}.$

Defnyddia rai awduron (~) yn lle (¬), a defnyddia rai (&) yn lle ($\wedge$). Amrywia nodiant yn fwy fyth o ran y set o werthoedd rhesymegol, gyda symbolau megis {gwir, an-wir}, {F, T}, {0, 1}, ac {$\mathrm{\perp }$, $\mathrm{\top }$} i'w gweld mewn sawl cyd-destun.

• Gan ddibynnu ar y cystrawen a defnyddir, gall fod symbolau ychwanegol, cystrawennol, megis "(", a ")", yn angenrheidiol i gwblhau fformwlâu.

Diffinnir yr iaith (ffurfiol) $ℒ$ (a gelwir hefyd yn set o fformwlâu, neu'n fformwlwâu-iawn-ffurfedig), yn anwythol neu'n iterus gan y rheolau canlynol:

1. Sylfaen. Mae unrhyw elfen o'r set $\mathrm{A}$ yn frawddeg o $ℒ$.
2. Cam (i). os mae p yn frawddeg, yna mae ¬p yn frawddeg.
3. Cam (ii). os mae p a q yn frawddegau, yna mae (p $\wedge$ q), (p ∨ q), (p → q), a (p ↔ q) yn frawddegau.
4. Cau. Does dim byd arall yn frawddeg.

• Mae'r set zeta, $\mathrm{Z}$, yn set feidraidd o reolau trawsffurfio a gelwir yn rheolau didwythiad pan mae cymhwysiad rhesymegol iddynt.
• Mae'r set iota, $\mathrm{I}$, yn set feidraidd o bwyntiau cychwynnol a gelwir yn wirebau pan mae cymhwysiad rhesymegol iddynt.

Enghraifft allweddol. System gyda gwirebau syml

Gadewch i ${ℒ}_1=ℒ(\mathrm{A},\mathrm{\Omega },\mathrm{Z},\mathrm{I})$, lle diffinnir $\mathrm{A},\mathrm{\Omega },\mathrm{Z},\mathrm{I}$ fel a ganlyn:

• Mae'r set $\mathrm{A}$ digon fawr i fodloni anghenion y drafodaeth:

$\mathrm{A}=\{p,q,r,s,t,u\}.$

er enghraifft. O'r tri cysylltydd ar gyfer "ac," "neu," ac "ymhlyga," (∧, ∨, a →), gellir cymryd un fel symbol cyntefig, a diffinio'r lleill gan ei ddefnyddio ynghyd â "nacáu" (¬). (Yn wir, gellir diffinio'r cysylltyddion i gyd yn nhermau un gweithredydd. Wrth gwrs, gellir diffinio "yn unfath â" (↔) yn nhermau'r symbolau eraill, gyda a ↔ b wedi'i diffinio'n (a → b) ∧ (b → a).

Mae fabwysiadu (¬) a (→) fel dau weithredydd cyntefig y resymeg osodiadol dan sylw, yn cyfateb i gael y dosraniad canlynol o $\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_1\cup {\mathrm{\Omega }}_2$:

${\mathrm{\Omega }}_1=\{\mathrm{\neg }\}.$

${\mathrm{\Omega }}_2=\{\to \}.$

Darganfu Jan Łukasiewicz system o wirebau sy'n deillio rhesymeg osodiadol. Y gwirebau yw'r fformwlâu canlynol, gydag unrhyw fformwla dilys wedi mewnosod yn lle'r newidynnau:

• $p\to (q\to p)$

• $(p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))$

• $(\mathrm{\neg }p\to \mathrm{\neg }q)\to (q\to p)$

Modus ponens yw'r rheol didwytho, hynny yw, o p a (p → q), didwyther q. Yna, diffinnir a ∨ b yn ¬a → b, ac a ∧ b yn ¬(a → ¬b).