Ffwythiannau trigonometrig

Ffwythiannau sin a cos o fewn cylch unedol.

Mewn mathemateg, mae ffwythiannau trigonometrig yn ffwythiannau onglau. Defnyddir y ffwythiannau yma i gysylltu onglau triongl (triongl ongl sgwâr gan fwyaf) i hyd ymylon y triongl. Y ffwythiannau mwyaf poblogaidd yw sin, cosin a tangiad, sy'n byrhau i sin, cos a tan.

Mae gan y ffwythiannau yma nifer o ddefnyddiau yn y meysydd cyfeiriadu, peirianneg a ffiseg nid yn unig o fewn yr astudiaeth o drionglau, ond hefyd mewn modelu ffenomenâu cyfnodol.

Diffiniadau triongl ongl sgwâr

Mae gan driongl dde un ongl 90° (π/2 radianau) labelwyd yma fel C. Gall onglau A a B amrywio mewn maint.

I ddiddwytho ongl A, enwir yr ochrau fel y canlynol:

• Yr hypotenws yw'r ochor gyferbyn ar ongl sgwâr, yn yr achos yma h. Yr hypotenws yw'r ochor sydd ar hyd fwyaf.
• Yr ochor cyferbyn yw'r ochor gyferbyn i'r ongl yr ydym am ei ddarganfod. Yn yr achos yma a.
• Yr ochor cyfagos yw'r ochor sydd rhwng yr ongl yr ydym am ei ddarganfod ar ongl sgwâr. Yn yr achos yma b.

Ffwythiant	Talfyriad	Disgrifiad	Unfathiannau (yn defnyddio radiannau)
Sin	sin	$\frac{\text{cyferbyn}}{\text{hypotenws}}$	$\sin \theta \equiv \cos (\frac{\pi }{2}-\theta )\equiv \frac{1}{\csc \theta }$
Cosin	cos	$\frac{\text{agos}}{\text{hypotenws}}$	$\cos \theta \equiv \sin (\frac{\pi }{2}-\theta )\equiv \frac{1}{\sec \theta }$
Tangiad	tan (or tg)	$\frac{\text{cyferbyn}}{\text{agos}}$	$\tan \theta \equiv \frac{\sin \theta }{\cos \theta }\equiv \cot (\frac{\pi }{2}-\theta )\equiv \frac{1}{\cot \theta }$
Cotangiad	cot (or ctg or ctn)	$\frac{\text{agos}}{\text{cyferbyn}}$	$\cot \theta \equiv \frac{\cos \theta }{\sin \theta }\equiv \tan (\frac{\pi }{2}-\theta )\equiv \frac{1}{\tan \theta }$
Secant	sec	$\frac{\text{hypotenws}}{\text{agos}}$	$\sec \theta \equiv \csc (\frac{\pi }{2}-\theta )\equiv \frac{1}{\cos \theta }$
Cosecant	csc (or cosec)	$\frac{\text{hypotenws}}{\text{cyferbyn}}$	$\csc \theta \equiv \sec (\frac{\pi }{2}-\theta )\equiv \frac{1}{\sin \theta }$

Unfathiannau

Mae yna nifer o unfathiannau yn bodoli sy'n cydberthyn y ffwythiannau trigonometrig. Dyma'r un a defnyddir fwya' aml.

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1,$

Perthnasau arall sy'n bodoli yw'r fformiwlâu swm a gwahaniaeth.

$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y,$

$\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y,$

$\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y,$

$\cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y.$

Pan mae dwy ongl yn hafal, mae'r swm y fformiwlâu yn symleiddio i hafaliadau a adnabyddir fel y double-angle formulae.

Calcwlws

Mae'r tabl yma yn dangos integriadau a differiadau ffwythiannau trigonometreg.

Ffwythiant $f(x)$	Differu $f^{\prime }(x)$	Integru $\int f(x)dx$
$\sin x$	$\cos x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$-\sin x$	$\sin x+C$
$\tan x$	${\sec }^{2}x=1+{\tan }^{2}x$	$-\ln |\cos x|+C$
$\cot x$	$-{\csc }^{2}x=-(1+{\cot }^{2}x)$	$\ln |\sin x|+C$
$\sec x$	$\sec x\tan x$	$\ln |\sec x+\tan x|+C$
$\csc x$	$-\csc x\cot x$	$-\ln |\csc x+\cot x|+C$

Ffwythiannau gwrthdro

Enw	Nodiant arferol	Nodiant arferol	Diffiniad	Parth x	Amrediad gwerthau (radiannau)	Amrediad gwerthau (Graddau)
arcsine	y = arcsin x	y=sin−1(x)	x = sin y	−1 ≤ x ≤ 1	−π/2 ≤ y ≤ π/2	−90° ≤ y ≤ 90°
arccosine	y = arccos x	y=cos−1(x)	x = cos y	−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ π	0° ≤ y ≤ 180°
arctangent	y = arctan x	y=tan−1(x)	x = tan y	pob rhif real	−π/2 < y < π/2	−90° < y < 90°
arccotangent	y = arccot x	y=cot−1(x)	x = cot y	pob rhif real	0 < y < π	0° < y < 180°
arcsecant	y = arcsec x	y=sec−1(x)	x = sec y	x ≤ −1 or 1 ≤ x	0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π	0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180°
arccosecant	y = arccsc x	y=csc−1(x)	x = csc y	x ≤ −1 or 1 ≤ x	−π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2	−90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90°