Cyfres Fourier

Mewn mathemateg, mae cyfres Fourier yn ffordd o ddadansoddi ffwythiannau neu signalau cyfnodol i mewn i swm o sinau a chosinau.

Formiwla fourier ar gyfer ffwythiannau cyfnodol 2π

Ar gyfer ffwythiant cyfnodol ƒ(x) sy'n medru integru ar [−π, π], mae'r rhifau  :
$a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos (nx)dx,n\ge 0$

$b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin (nx)dx,n\ge 1$
yn cael ei alw'n cyfernodau fourier o ƒ. Cyfwlynwyd symiau rhannol y cyfres fourier ar gyfer ƒ, dynodwyd gan:  :$(S_{N}f)(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^N[a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx)],N\ge 0.$
Mae'r symiau rhannol ƒ yn bolynomialau trigonometrig.

Esiampl o gyfres fourier syml

Plot o ffwythiant cyfnodol

Y pump cyfres fourier rhannol cyntaf.

Defnyddiwn y fformiwla uchod i ddidwytho'r Cyfres Fourier. Ystyriwch ton dant llif:

$f(x)=x,\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}-\pi <x<\pi ,$ :$f(x+2\pi )=f(x),\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }.$
Yn yr achos yma rhoddir y cyfernodau gan:

$\begin{array}{cc}{a}_0& =\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}xdx=0.\\ a_n& =\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}x\cos (nx)dx=0,n\ge 0.\\ b_n& =\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}x\sin (nx)dx=-\frac{2}{n}\cos (n\pi )+\frac{2}{\pi n^2}\sin (n\pi )=2\frac{(-1{)}^{n+1}}{n},n\ge 1.\end{array}$

Gellir profi bod y cyfres yn cydgyfeirio i f(x) at bob pwynt x lle mae f yn medru cael ei ddifferu, felly:

$\begin{array}{cc}f(x)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n\cos \left(nx\right)+b_n\sin \left(nx\right)]\\ & =2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\sin (nx),\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}x-\pi \notin 2\pi 𝐙.\end{array}$

Pan mae x=π, mae'r cyfres Fourier yn cydgyfeirio i 0, sy'n hanner swm o'r terfyn chwith a dde o f ar x=π. Mae'r esiampl yma yn dangos theorem Dirichlet ar gyfres Fourier.