Ffwythiant

Mynegiad, broses neu reol fathemategol sydd yn diffinio perthynas rhwng dau newidyn – y newidyn annibynnol a'r newidyn dibynnol – yw ffwythiant (ll. ffwythiannau). Mae ffwythiant yn broses ac yn creu pertynas rhwng pob elfen Nodyn:Mvar o set Nodyn:Mvar, sef 'parth' y ffwythiant, gydag un elfen Nodyn:Mvar o ail set Nodyn:Mvar, sef cytbarth y ffwythiant. Fel arfer os gelwir y ffwythiant yn Nodyn:Mvar, yna ysgrifennir ffwythiant fel Nodyn:Math, yma:

Nodyn:Mvar yw'r newidyn annibynnol, yr ymresymiad neu 'fewnbwn' y ffwythiant.

Nodyn:Mvar yw gwerth y ffwythiant, neu 'allbwn' y ffwythiant; weithiau dywedir mai Nodyn:Mvar yw "delwedd" Nodyn:Mvar wrth Nodyn:Mvar.

Nodyn:Mvar yw'r ffwythiant

Y symbol a ddefnyddir i gynrychioli'r mewnbwn yw newidyn y ffwythiant; yn aml, dywedir fod Nodyn:Mvar yn ffwythiant o'r newidyn Nodyn:Mvar).

Mae ffwythiant o set X i set Y yn aseiniad o elfen o Y i bob elfen o X. Gelwir y set X yn barth y swyddogaeth a gelwir y set Y yn 'gyd-barth y ffwythiant'.

Mae ystyr y gair wedi newid cryn dipyn ers ei ddefnydd gwreiddiol, pan gynrychiolai'r gair sut mae maint neu feintiau newidiol yn dibynnu ar faint arall. Er enghraifft, mae lleoliad planed yn ffwythiant o amser. Ymhelaethwyd ar y cysyniad hwn ymhellach dros y blynyddoedd gyda dyfodiad 'calcwswl infinitesimal' ar ddiwedd y 17g a hyd at y 19g, pan oedd y ffwythiannau a ystyriwyd yn ddifferadwy (differentiable; hynny yw, roedd ganddynt raddau helaeth o reoleidd-dra). Cafodd y cysyniad o ffwythiant ei ffurfioli ar ddiwedd y 19g o ran theori set, ac mae hyn wedi ehangu'r cysyniad a'i gymhwysiad.

Mae'r gromlin goch yn nodi'r ffwythiant; mae gan pob llinell fertig un pwynt-croesi ar y gromlin.

Cynrychiolir ffwythiant mewn modd unigryw iawn, a hynny gan ei graff - mewn set sy'n cynnwys pob pâr Nodyn:Math. Pan fo'r parth a'r cytbarth yn set o rifau, efallai y bydd pob pâr o'r fath yn cael ei ystyried fel cyfesurynnau Cartesaidd pwynt yn y plan. Yn gyffredinol, mae'r pwyntiau hyn yn ffurfio cromlin, a elwir hefyd yn graff y ffwythiant. Mae hwn yn gynrychiolaeth ddefnyddiol o'r ffwythiant, a ddefnyddir yn gyffredin ymhobman, er enghraifft mewn papurau newydd.

Cyfystyron

Gellir edrych ar u termau canlynol, ar adegau, fel cyfystyron: 'map', 'mapio', 'trawsnewidiad', a 'gweithredydd'

Y nodiant ar gyfer ffwythiant, ei barth a'i gyd-barth yw

Nodyn:Math, a gelwir gwerth ffwythiant Nodyn:Mvar ar elfen Nodyn:Mvar o Nodyn:Mvar, a ddynodir gan Nodyn:Math, yn ddelwedd Nodyn:Mvar o dan Nodyn:Mvar, neu gwerth Nodyn:Mvar wedi'i gymhwyso ar gyfer ymresymiad Nodyn:Mvar.

Os diffinnir ffwythiant yn y nodiant hwn, cymerir bod ei barth a'i gyd-barth ymhlyg yn y ddau $ℝ$, y set o rifau real. Os na ellir gwerthuso'r fformiwla ar bob rhif real, yna cymerir yn mai'r parth yw'r is-set uchaf $ℝ$ y gellir gwerthuso'r fformiwla arno; gweler Parth swyddogaeth.

Ffwythiant sy'n cysylltu unrhyw un o'r pedwar siâp lliw â'i liw.

Diffiniad

Gelwir ffwythiannau hefyd yn fapiau neu'n faps, er bod rhai awduron yn gwahaniaethu rhywfaint rhwng "mapiau" a "ffwythiannu".

Mae dau ffwythiant Nodyn:Mvar ac Nodyn:Mvar yn gyfartal os yw eu setiau parth a chyd-barth yr un fath a bod eu gwerthoedd allbwn yn cytuno ar y parth cyfan. Yn fwy ffurfiol, o ystyried Nodyn:Math a Nodyn:Math, mae gennym Nodyn:Math os ac yn unig os yw Nodyn:Math ar gyfer Nodyn:Math Nodyn:Sfn.

Nid yw'r parth a'r cyd-barth bob amser yn cael eu rhoi'n benodol pan fydd ffwythiant yn cael ei ddiffinio, ac, heb ryw gyfrifiant, efallai na fyddai rhywun ond yn gwybod bod y parth wedi'i gynnwys mewn set fwy. Yn nodweddiadol, mae hyn yn digwydd mewn dadansoddiad mathemategol, lle mae "ffwythiant Nodyn:Dimamlapio yn aml yn cyfeirio at ffwythiant a allai fod ag is-set gywir o X fel parth. Er enghraifft, fe all "ffwythiant o real at y realau" gyfeirio at ffwythiant o werth-real o newidyn real. Fodd bynnag, nid yw "ffwythiant o real at y realau" yn golygu mai parth y ffwythiant yw'r set gyfan o rifau real, ond dim ond os yw'r parth yn set o rifau real sy'n cynnwys cyfwng agored nad yw'n wag. Yna gelwir ffwythiant o'r fath yn swyddogaeth rannol. Er enghraifft, os yw Nodyn:Mvar yn ffwythiant sydd â'r rhifau real yn barth a chyd-barth, yna mae'r ffwythiant sy'n mapio'r gwerth Nodyn:Mvar i'r gwerth Nodyn:Math yn ffwythiant Nodyn:Mvar o'r real i'r realau, lle mae eu parth yn set o realau Nodyn:Mvar, fel bod . Nodyn:Math.

Ystod neu ddelwedd swyddogaeth yw set delweddau pob elfen yn y parth.

Dull perthynol

Yn y dull perthynol (relational approach), mae ffwythiant Nodyn:Math yn berthynas ddeuaidd rhwng Nodyn:Mvar ac Nodyn:Mvar sy'n cysylltu â phob elfen o Nodyn:Mvar yn unioni bob elfen o Nodyn:Mvar. Hynny yw, caiff Nodyn:Math ei ddiffinio gan set Nodyn:Mvar o barau trefnus Nodyn:Math gyda Nodyn:Math, fel bod pob elfen o Nodyn:Math yn gydran gyntaf o un pâr trefnus yn Nodyn:Mvar. Mewn geiriau eraill, ar gyfer pob Nodyn:Math yn Nodyn:Math, mae yna un elfen Nodyn:Math yn union fel bod y pâr trefnus (x, y ) yn perthyn i'r set o barau sy'n diffinio'r ffwythiant Nodyn:Mvar. Gelwir y set G yn graff Nodyn:Mvar. Mae rhai awduron yn ei uniaethu â'r ffwythiant; fodd bynnag, mewn defnydd cyffredin, mae'r ffwythiant yn gyffredinol yn cael ei gwahaniaethu oddi wrth ei graff. Yn y dull hwn, diffinnir ffwythiant fel triphlyg trefnus Nodyn:Math. Yn y nodiant hwn, mae p'un a yw ffwythiant yn surjective (gweler isod) yn dibynnu ar y dewis o Nodyn:Mvar.

Mae unrhyw is-set o luoswm Cartesaidd dy dwy set Nodyn:Math ac Nodyn:Math yn diffinio perthynas ddeuaidd Nodyn:Math rhwng y ddwy set hyn. Gall y berthynas fympwyol gynnwys parau sy'n torri'r amodau angenrheidiol ar gyfer ffwythiant a roddir uchod.

Mae perthynas ddeuaidd yn ffwythiant os

$\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\forall }y\in Y,\mathrm{\forall }z\in Y,((x,y)\in R\wedge (x,z)\in R)⟹y=z.$

Mae perthynas ddeuaidd yn gyfresol os

$\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\exists }y\in Y,(x,y)\in R.$

Mae ffwythiant rannol yn berthynas ddeuaidd sy'n ffwythiannol.

Mae ffwythiant yn berthynas ddeuaidd sy'n ffwythiannol ac yn gyfresol. Gellir ailfformiwleiddio priodweddau amrywiol o ffwythiannau a chyfansoddiad swyddogaeth yn iaith perthynas. Er enghraifft, mae ffwythiant yn injective os yw'r berthynas wrthwyneb (converse relation) (Nodyn:Math yn ffwythiannol, lle diffinnir y berthynas wrthwyneb fel

Fel elfen o gyfanswm Cartesaidd dros y parth

Gellir nodi'r set o holl ffwythiannau o ryw barth penodol i gyd-barth gyda'r cyfanswm Cartesaidd o gopïau o'r cyd-barth, wedi'u mynegeio gan y parth. Sef, o ystyried setiau Nodyn:Math a Nodyn:Math, mae unrhyw swyddogaeth Nodyn:Math yn elfen o gyfanswm Cartesaidd o gopïau o fwy nag un Nodyn:Math dros y mynegai X a osodwyd:

$f\in Y^X:=\prod _{x\in X}Y.$

Gan edrych ar Nodyn:Math fel <i>tuple</i> gyda chyfesurynnau, yna ar gyfer pob Nodyn:Math mae'r cyfesuryn Nodyn:Math o'r tuple hwn yw gwerth Nodyn:Math. Mae hyn yn adlewyrchu'r greddf bod y ffwythiantar x ∈ X , yn dewis rhyw elfen Nodyn:Math, sef, Nodyn:Math).

Yn aml, mae cyfansymiau Cartesaidd anfeidrol yn cael eu "diffinio" yn syml fel setiau o ffwythiannauau.

Nodiant

Ceir nifer o ffyrdd safonol ar gyfer dynodi ffwythiannau. Y nodiant a ddefnyddir amlaf yw nodiant ffwythiannau, sef y nodiant cyntaf a ddisgrifir isod.

Nodiant ffwythiannau

Mewn nodiant ffwythiannau, rhoddir enw, fel Nodyn:Mvar, ar unwaith i'r ffwythiant, a rhoddir ei ddiffiniad gan yr hyn y mae Nodyn:Mvar wneud i'r ddadl benodol Nodyn:Mvar, gan ddefnyddio fformiwla yn nhermau Nodyn:Mvar . Er enghraifft, dynodir y ffwythiant sy'n cymryd rhif real fel mewnbwn ac allbynnau y rhif hwnnw plws 1 hwn fel a ganlyn:

$f(x)=x+1$ .

Mae nodiant saeth yn diffinio rheol ffwythiant yn fewnol, heb ei gwneud yn ofynnol rhoi enw i'r ffwythiant. Er enghraifft, $x\mapsto x+1$ yw'r ffwythiant sy'n cymryd rhif real fel mewnbwn ac allbynnau'r rhif hwnnw ynghyd ag 1. Unwaith eto, mae parth a chyd-barth o $ℝ$ ymhlyg.

Enghraifft fwy cymhleth yw'r ffwythiant

$f(x)=\sin (x^2+1)$.

Yn yr enghraifft hon, mae'r ffwythiant Nodyn:Mvar yn cymryd rhif real fel mewnbwn, yn ei sgwario, yna'n ychwanegu 1 at y canlyniad, yna'n cymryd sin y canlyniad, ac yn dychwelyd y canlyniad terfynol fel yr allbwn.

Pan fydd y symbol sy'n dynodi'r ffwythiant yn cynnwys sawl nod ac na all unrhyw amwysedd godi, gellir hepgor cromfachau nodiant ffwythiannol. Er enghraifft, mae'n gyffredin ysgrifennu Nodyn:Math yn lle Nodyn:Math.

Defnyddiwyd nodiant ffwythiannol yn gyntaf gan Leonhard Euler ym 1734. Cynrychiolir rhai ffwythiannau a ddefnyddir yn aml gan symbol sy'n cynnwys sawl llythyren (dau neu dri fel arfer, talfyriad o'u henw yn gyffredinol). Yn yr achos hwn, defnyddir teip Rhufeinig yn lle fel arfer, fel "sin" ar gyfer y ffwythiant sin, mewn cyferbyniad â ffont italig ar gyfer symbolau un llythyren.

Wrth ddefnyddio'r nodiant hwn, deuir yn aml ar draws cam-drin nodiant lle gall y nodiant Nodyn:Math gyfeirio at werth Nodyn:Mvar yn Nodyn:Mvar, neu at y ffwythiant ei hun. Os datganwyd y newidyn Nodyn:Mvar yn flaenorol, yna mae'r nodiant f ( x ) yn ddiamwys yn golygu gwerth Nodyn:Mvar at Nodyn:Mvar.

Fodd bynnag, mae gwahaniaethu rhwng Nodyn:Mvar and Nodyn:Math yn bwysig mewn achosion lle mae ffwythiannau eu hunain yn gweithredu fel mewnbynnau ar gyfer ffwythiannau eraill. (Gelwir ffwythiannau sy'n cymryd ffwythiannau arall fel mewnbwn yn ffwythiant.) Mae dulliau eraill o nodi ffwythiannau, y manylir arnynt isod, yn osgoi'r broblem hon ond fe'u defnyddir yn llai cyffredin.

Nodiant saeth

Gellir hefyd nodi'r parth a'r cyd-barth yn benodol, er enghraifft:

$\begin{array}{cc}\mathrm{sqr}:\mathbb{Z}& \to \mathbb{Z}\\ x& \mapsto x^2.\end{array}$

Mae hyn yn diffinio ffwythiant Nodyn:Math o'r cyfanrifau i'r cyfanrifau sy'n dychwelyd sgwâr ei fewnbwn.

Fel cymhwysiad cyffredin o'r nodiant saeth, os yw$f:X\times X\to Y;(x,t)\mapsto f(x,t)$ yn ffwythiant mewn dau newidyn, ac rydym am gyfeirio at ffwythiant a gymhwysir yn rhannol $X\to Y$ a gynhyrchir trwy osod yr ail ddadl i'r gwerth Nodyn:Math heb gyflwyno enw ffwythiant newydd. Gellid dynodi'r map dan sylw $x\mapsto f(x,t_0)$ drwy ddefnyddio'r nodiant saeth. Yr ymadrodd Nodyn:Math yn cynrychioli'r ffwythiant newydd hon gydag un ddadl yn unig, ond mae'r ymadrodd Nodyn:Math yn cyfeirio at werth y ffwythiant Nodyn:Mvar ar y pwynt Nodyn:Nowrap

Nodiant mynegai

Defnyddir nodiant mynegai yn aml yn lle nodiant ffwythiannol. Hynny yw, yn lle ysgrifennu Nodyn:Math, ysgrifennir $f_x.$

Mae hyn yn wir am ffwythiannau y mae eu parth yn set o'r rhifau naturiol. Gelwir ffwythiant o'r fath yn ddilyniant, ac, yn yr achos hwn yr elfen $f_n$ yn cael ei alw'r n-fed elfen o ddilyniant.

Nodiant dot

Yn y nodiant $x\mapsto f(x),$ nid yw'r symbol Nodyn:Mvar yn cynrychioli unrhyw werth, dim ond deiliad lle (placeholder) ydyw, sy'n golygu, os ywNodyn:Mvar yn cael ei ddisodli gan unrhyw werth ar ochr chwith y saeth, dylid ei ddisodli gan yr un gwerth ar ochr dde'r saeth. Felly, gellir cynrychioli Nodyn:Mvar gan unrhyw symbol, yn aml rhyngosod (yr interpunct) " ⋅ ". Gall hyn fod yn ddefnyddiol ar gyfer gwahaniaethu'r ffwythiant Nodyn:Math o'i werth Nodyn:Math yn Nodyn:Mvar.

Er enghraifft, gall $a(\cdot {)}^2$ gynrychioli'r ffwythiant $x\mapsto a{x}^2$, a gall ${\int }_a^{(\cdot )}f(u)du$ gynrychioli'r ffwythiant a ddiffinnir gan integral â rhwymyn uchaf amrywiol: $x\mapsto {\int }_a^{x}f(u)du$ .