Theorem Bayes-Price

Arosodiad o ddau ddigwyddiad, er mwyn egluro theorem Bayes.

O fewn damcaniaeth tebygolrwydd ac o fewn ystadegau, mae theorem Bayes-Price (a elwir hefyd yn gyfraith Bayes-Price; ond tan yn ddiweddar, fel Theorem Bayes) yn disgrifio tebygolrwydd rhyw ddigwyddiad, yn seiliedig ar wybodaeth flaenorol o amodau a allai fod yn gysylltiedig â'r digwyddiad. Er enghraifft, os yw canser yn gysylltiedig ag oedran, yna, gan ddefnyddio theorem Bayes, gellir defnyddio oed unigolyn i asesu'n fwy cywir y tebygolrwydd bod ganddynt ganser, o'i gymharu ag asesu tebygolrwydd canser heb wybodaeth am oedran yr unigolyn.

Un o nifer o gymwysiadau theorem Bayes yw anwythiad Bayesaidd, sy'n fath o anwythiad ystadegol. Pan gaiff ei gymhwyso, gall y tebygolrwydd sy'n gysylltiedig â theori Bayes gael dehongliadau tebygolrwydd gwahanol. Gyda'r gwahanol ddehongliad hyn, mae'r theorem yn mynegi sut y dylai meddylfryd goddrychol newid i adlewyrchu'r dystiolaeth gysylltiedig. Mae anwythiad Bayesaidd yn hanfodol i'r ystadegydd Bayesaidd.

Galwyd y theorem ar ôl y Parchedig Thomas Bayes (1701-1761), y gŵr cyntaf i ddarparu hafaliad sy'n caniatáu tystiolaeth newydd i ddiweddaru credoau. Ar ei farwolaeth gadawyd ei bapurau heb eu cyhoeddi. Ei gyfaill Price a wahoddwyd i roi trefn arnynt a chymerodd ddwy flynedd i wneud hynny. Gwnaeth hynny mewn traethawd o'r enw An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances ychydig wedi iddo draddodi darlith ar yr hyn roedd wedi'i ddarganfod o flaen y Gymdeithas Frenhinol ar 23 Rhagfyr 1763. Richard Price o Langeinwyr felly a gyflwynodd Bayes i'r Byd, wrth iddo fynd drwy bapurau Bayes, wedi'i angladd.

Datblygwyd y cysyniadau hyn ymhellach gan Pierre-Simon Laplace, a gyhoeddodd y fformiwlâu am y tro cyntaf yn ei waith "Théorie analytique des probabilités" (1812). Rhoddodd Syr Harold Jeffreys algorithm Bayes a gwaith Laplace ar ffurf wirebol (acsiomatig). Ysgrifennodd Jeffreys "fod theorem Bayes i theori tebygolrwydd yr hyn yw theorem Pythagoras i geometreg".

Datganiad o'r theorem

Gellir datgan y theorem Bayesaidd, mewn hafaliad, fel:

$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)},$

ble mae $A$ a $B$ yn ddigwyddiadau (mathemategol) a $P(B)\ne 0$.

• $P(A\mid B)$ yw'r tebygolrwydd amodol: y tebygolrwydd i'r digwyddiad $A$ ddigwydd, gan fod $B$ yn gywir.
• mae $P(B\mid A)$ hefyd yn debygolrwydd amodol: y tebygolrwydd i'r digwyddiad $B$ ddigwydd, gan fod $A$ yn gywir.
• $P(A)$ a $P(B)$ yw'r tebygolrwydd o arsylwi $A$ a $B$ yn annibynnol o'i gilydd; gelwir hyn yn "debygolrwydd amodol".

Enghraifft

Tybiwch fod prawf ar gyfer defnyddio cyffur penodol yn 99% sensitif a 99% yn benodol. Hynny yw, bydd y prawf yn cynhyrchu 99% o ganlyniadau cadarnhaol gwirioneddol i ddefnyddwyr cyffuriau a 99% gwirioneddol negyddol ar gyfer defnyddwyr nad ydynt ar gyffuriau. Tybiwch eto fod 0.5% o bobl yn defnyddio'r cyffuriau dan sylw. Beth yw'r tebygolrwydd bod unigolyn a ddewiswyd ar hap gyda phrawf positif yn ddefnyddiwr cyffuriau?

$\begin{array}{cc}P(\text{Defnyddiwr}\mid \text{+})& =\frac{P(\text{+}\mid \text{Defnyddiwr})P(\text{Defnyddiwr})}{P(+)}\\ & =\frac{P(\text{+}\mid \text{Defnyddiwr})P(\text{Defnyddiwr})}{P(\text{+}\mid \text{Defnyddiwr})P(\text{Defnyddiwr})+P(\text{+}\mid \text{Heb fod yn ddefnyddiwr})P(\text{Heb fod yn ddefnyddiwr})}\\ & =\frac{0.99\times 0.005}{0.99\times 0.005+0.01\times 0.995}\\ & \approx 33.2\mathrm{\%}\end{array}$

Hyd yn oed os yw unigolyn yn profi'n bositif, mae'n fwy tebygol nad ydynt yn defnyddio'r cyffur. Mae hyn oherwydd bod nifer y rhai nad ydynt yn ddefnyddwyr yn fawr o'i gymharu â nifer y defnyddwyr. Mae nifer y cadarnhaol anghywir (false positives) yn gorbwyso'r nifer positif gwirioneddol. Er enghraifft, pe profir 1,000 o unigolion yna disgwylir 995 o bobl nad ydynt ar y cyffuriau a 5 defnyddiwr. O'r 995 nad ydynt yn ddefnyddwyr, disgwylir 0.01 × 995 ≃ 10 cadarnhaol anghywir. O'r 5 defnyddiwr, disgwylir 0.99 × 5 ≈ 5 cadarnhaol anghywir. O blith 15 o ganlyniadau positif, dim ond 5 sy'n ddilys.

Diagram canghennog i egluro'n weledol yr enghraifft a roddir parthed defnyddwyr cyffuriau. Mae U, Ū, "+" and "−" ddigwyddiadau sy'n cynrychioli'r defnyddwyr, y rhai nad ydynt yn ddefnyddwyr, canlyniadau positif a negatif. events representing user, non-user, positive result and negative result. Cyfrifwyd y canrannau (mewn cromfachau).

Dolennau allanol

• Nodyn:MathWorld
• Tiwtorial i fyfyrwyr ar ystadegaeth a theorem Bayesaidd.