Sffêr

Diagram dau ddimensiwn o sffêr.

Mae sffêr (enw gwrywaidd; o'r Groeg σφαῖρα - sphaira, "pelen") yn wrthrych geometrig perffaith mewn gofod tri dimensiwn; dyma wyneb pêl cwbwl gron sy'n cyfateb yn nhermau dau ddimensiwn i gylch.

Fel cylch mewn gofod dau ddimensiwn, diffinnir sffêr yn fathemategol fel y set o bwyntiau sydd i gyd ar yr un pellter Nodyn:Math o bwynt penodol, ond mewn man tri dimensiwn. Y pellter Nodyn:Math yw radiws y bêl, sydd wedi'i ffurfio o bob pwynt gyda pellter llai na Nodyn:Math o'r pwynt a roddir, sef canolbwynt / canol y bêl fathemategol. Cyfeirir at y rhain hefyd fel "y radiws" a "chanol y cylch". Mae'r linell syth hiraf drwy'r bêl, sy'n cysylltu dwy bwynt y sffêr, yn mynd trwy'r canol gyda'i hyd, felly, ddwywaith y radiws; dyma "ddiamedr" y sffêr a'i bêl.

Ar y cae pêl-droed a mannau eraill y tu allan i fyd mathemateg, caiff y ddau air 'sffêr' a 'phêl eu cyfnewid a'u camddefnyddio'n aml. O fewn mathemateg, perchir y gwahaniaeth, lle mae sffêr yn arwyneb caeedig dau ddimensiwn, wedi'i fewnosod mewn gofod Ewclidaidd tri dimensiwn, ac ar y llaw arall, mae'r bêl yn siâp tri dimensiwn sy'n cynnwys y sffêr a phopeth y tu mewn i'r sffêr (pêl caeedig), neu, yn amlach, dim ond y pwyntiau y tu mewn, ond nid ar y sffêr (pêl agored). Nid yw'r gwahaniaeth hwn bob amser wedi'i gynnal, yn enwedig mae hen gyfeiriadau mathemategol lle ddisgrifir sffêr yn wrthrych solat. Mae hyn yn debyg i'r sefyllfa yn y plân, lle mae'r termau "cylch" a "disg" hefyd cael eu camddefnyddio.

Hafaliadau yn y gofod tri dimensiwn

Dau radiws sffêr

Mewn geometreg dadansoddol, mae sffêr sydd a'i ganol Nodyn:Math a'i radiws Nodyn:Mvar yn locws i holl bwyntiau Nodyn:Math, fel bod

$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=r^2.$

Gadewch i Nodyn:Mvar fod yn rhifau real, gyda Nodyn:Math, a rhowch

$x_0=\frac{-b}{a},y_0=\frac{-c}{a},z_0=\frac{-d}{a},\rho =\frac{b^2+c^2+d^2-ae}{a^2}.$

yna, nid oes gan yr hafaliad

$f(x,y,z)=a(x^2+y^2+z^2)+2(bx+cy+dz)+e=0$

unrhyw bwyntiau real fel datrysiadau os $\rho <0$, ac fe'i gelwir yn "sffêr dychmygol".

Os $\rho =0$ yna'r unig ddatrysiad o $f(x,y,z)=0$ yw'r pwynt $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ a dywedir bod yr hafaliad yn "hafaliad y sffêr pwynt". Yn olaf, yn achos $\rho >0$, yna $f(x,y,z)=0$ yw hafaliad y sffêr sydd a'i ganol yn $P_0$ a'i radiws yn $\sqrt{\rho }$.

Os yw Nodyn:Mvar yn yr hafaliad uchod yn sero, yna Nodyn:Math yw hafaliad y plân. Felly, gellir ystyried plân yn fath o sffêr gyda radiws anfeidraidd, sydd a'i ganolbwynt yn "bwynt anfeidraidd" (point at infinity).

Gellir rhoi pwyntiau sffêr gyda radiws $r>0$ a'i ganol $(x_0,y_0,z_0)$ ar baramedr, drwy:

$\begin{array}{cc}x& =x_0+r\sin \phi \cos \theta \\ y& =y_0+r\sin \phi \sin \theta (-\pi /2\le \phi \le \pi /2,0\le \theta <2\pi )\\ z& =z_0+r\cos \phi \end{array}$

Mae sffêr gyda'i radiws wedi'i ganoli ar sero yn arwyneb integrol o'r ffurf wahaniaethol ganlynol:

$xdx+ydy+zdz=0.$

Mae'r hafaliad hwn yn adlewyrchu safle a fectorau cyflymder pwynt, Nodyn:Math a Nodyn:Math, sy'n teithio ar y sffêr, ac sydd bob amser yn orthogonol i'w gilydd.

Cyfaint mewnol

Sffêr (mewn coch), gyda'i silindr amgylchol (mewn glas golau).

Mewn gofod tri dimensiwn, mae cyfaint oddi mewn i sffêr (sef cyfaint pêl) yn:

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

lle mae Nodyn:Mvar yn radiws y sffêr. Archimedes a luniodd y fformiwla hon yn gyntaf, gan fynegi fod y cyfaint y tu mewn i sffêr ddwywaith y gwahaniaeth cyfaint y sffêr a chyfaint y silindr sy'n ei amgylchynu.

Yn fyr, gellir canfod fformiwla ei gyfaint drwy ddefnyddio cyfesurynnau sfferig, gydag elfennau'r cyfaint yn

$dV=r^2\sin \theta drd\theta d\phi$

fel bod

$V=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{r}{\int }}r{\text{'}}^2\sin \theta d{r}^{\prime }d\theta d\phi =2\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{r}{\int }}r{\text{'}}^2\sin \theta d{r}^{\prime }d\theta =4\pi \underset{0}{\overset{r}{\int }}r{\text{'}}^{2}d{r}^{\prime }=\frac{4}{3}\pi r^3.$

Yn ymarferol, ac fel brasamcan, mae cyfaint mewnol sffêr yn 52.4% o gyfaint y ciwb, gan fod Nodyn:Math, ble Nodyn:Mvar yw diamedr y sffêr a hyd ochr y ciwb a Nodyn:Sfrac ≈ 0.5236. Er enghraifft, mae gan sffêr gyda diamedr o 1 fetr 52.4% o gyfaint y ciwb sydd a hyd ei ymylon yn 1 fetr, neu tua 0.524 m³.

Arwynebedd

Arwynebedd sffêr gyda'i radiws yn Nodyn:Mvar yw:

$A=4\pi r^2.$