Mewngylch ac allgylch

Dynodir y canlynol:
Nodyn:ColorboxNodyn:Nbsptriongl gyda Nodyn:ColorboxNodyn:Nbspmewngylch, mewnbwynt (incenter) (I), Nodyn:ColorboxNodyn:Nbspallgylchoedd, allbwyntiau (excenters) (J_A, J_B, J_C), Nodyn:ColorboxNodyn:Nbsphanerydd ongl (mewnol) a Nodyn:ColorboxNodyn:Nbsphanerydd ongl (allanol). Y Nodyn:ColorboxNodyn:Nbsptriongl gwyrdd yw'r 'triongl allganol' (excentral triangle).

Mewn geometreg, mae mewngylch yn cyfeirio at y cylch mwyaf a ellir ei ffitio mewn triongl. Mae'n cyffwrdd tair ochr y triongl; mewn geiriau eraill, mae'r cylch mewn tangiad a'r triongl mewn tri lle. Gelwir canolbwynt y mewngylch yn "fewnbwynt y triongl".

Ceir hefyd allgylch, sef cylch sy'n gorwedd y tu allan i'r triongl, mewn tangiad i un o'i ochrau a thangiad i ymestyniad o'r ddau arall. Mae gan bob triongl dri allgylch gwahanol, gyda phob un mewn tangiad gydag un o ochrau'r triongl.

Polygon tangiadol

Gellir canfod canol y mewngylch (y 'mewnbwynt') fel croestoriad y tri hanerydd ongl (mewnol) (internal angle bisectors). Canolbwynt yr allgylch yw croestoriad hanerydd ongl (mewnol) un ongl (fertig A, er enghraifft) a hanerydd ongl (allanol) y ddwy ongl arall. Canolbwynt yr allgylch hwn yw'r 'triongl allganol' (excentral triangle) mewn perthynas â fertig A, neu allganol A.Nodyn:Rp

Oherwydd bod hanerydd ongl (mewnol) unrhyw ongl yn berpendicwlar i'w hanerydd allanol, mae'n dilyn, felly, fod canol y mewngylch ynghyd â chanolbwyntiau'r tri allgylch, yn ffurfio system orthocentric.Nodyn:Rp

Nid oes gan bob polygon sydd â mwy na thair ochr dangiad mewngylchol ar bob ochr. Gelwir y rhai hynny sydd (hy lle mae'r mewngylch yn cyffwrdd pob ochr) yn "bolygonau tangiadol".

Mewngylch a mewnbwynt

Mae triongl, ΔABC Nodyn:Colorbox, gyda mewngylch Nodyn:Colorbox, mewnbwynt (I) Nodyn:Colorbox, yn cyffwrdd triongl (ΔT_aT_bT_c) Nodyn:Colorbox, a "phwynt Gergonne" (Ge) Nodyn:Colorbox.

Dyweder bod gan $\mathrm{△}ABC$ fewngylch gyda radiws r a chanolbwynt I. yna, a yw hyd y linell BC, b yw hyd AC, ac c yw hyd AB. Dyweder hefyd mai $T_a,T_b,\text{ and }{T}_c$ yw'r mannau cyffwrdd, ble mae'r mewngylch yn cyffwrdd BC, AC, a AB.

Mewngylch

Y mewnbwynt yw'r pwynt hwnnw ble mae'r hanerydd ongl (mewnol) o $\mathrm{\angle }ABC,\mathrm{\angle }BCA,\text{ and }\mathrm{\angle }BAC$ yn cyfarfod.

Y pellter o fertig A i'r canolbwynt I yw:

$d(A,I)=c\frac{\sin \left(\frac{B}{2}\right)}{\cos \left(\frac{C}{2}\right)}=b\frac{\sin \left(\frac{C}{2}\right)}{\cos \left(\frac{B}{2}\right)}$

Y pellter i'r fertig

Dyweder bod mewnbwynt triongl ABC yn I, mae'r pellter o'r mewnbwynt i'r fertig, a hyd ochrau'r triongl yn parchu'r hafaliad:

$\frac{IA\cdot IA}{CA\cdot AB}+\frac{IB\cdot IB}{AB\cdot BC}+\frac{IC\cdot IC}{BC\cdot CA}=1.$

Ymhellach,

$IA\cdot IB\cdot IC=4R{r}^2,$

ble R ac r yw cylchradiws (circumradius) a mewnradiws y triongl.