Pwynt (geometreg)

Set feidraidd o bwyntiau mewn gofod dau-ddimensiwn Ewclidaidd.

Mewn mathemateg fodern, mae pwynt yn cyfeirio at ran o (neu 'elfen') o set a elwir yn "gofod".

Yn fwy penodol, mewn geometreg Ewclidaidd, mae 'bwynt' yn gysyniad neu'n ddatrysiad) mae'r geometreg wedi'i adeiladu arno, sy'n golygu na ellir diffinio pwynt o ran gwrthrychau a ddiffiniwyd eisoes. Fe'i diffinnir gan un nodwedd yn unig: gwirebau mae'n rhaid eu bodlon. Yn benodol, nid oes gan y pwyntiau geometrig unrhyw hyd, arwynebedd, cyfaint nac unrhyw briodoledd arall, o ran dimensiwn. Mae'n eitha posib fod y cysyniad o bwynt yn creu delwedd o leoliad unigryw mewn gofod Ewclidaidd.

Pwyntiau o fewn geometreg Ewclidaidd

Mae pwyntiau yn un o'r gwrthrychau mwyaf sylfaenol o fewn fframwaith geometreg Ewclidaidd. Yn wreiddiol, diffiniodd Euclid y pwynt fel "yr un sydd heb unrhyw ran". Mewn gofod dau ddimensiwn Ewclidaidd, caiff pwynt ei gynrychioli gan bâr o rifau (Nodyn:Mvar, Nodyn:Mvar), lle mae'r rhif cyntaf (a ddynodir gan Nodyn:Mvar) yn cynrychioli'r plân llorweddol ac mae'r ail rif (Nodyn:Mvar) yn cynrychioli'r fertigol.

Mae'r syniad hwn yn cael ei gyffredinoli'n hawdd i ofod Ewclidaidd tri-dimensiwn, lle mae pwynt wedi'i gynrychioli gan (Nodyn:Mvar, Nodyn:Mvar, Nodyn:Mvar), gyda'r trydydd rhif yn cael ei ddynodi gan Nodyn:Mvar. Gellir cyffredinoli ymhellach gyda threfnau trefnus yn nhermau tuplet o Nodyn:Mvar, Nodyn:Math lle mae Nodyn:Mvar yn dynodi dimensiwn y gofod lle lleolir y pwynt.

O fewn geometreg Ewclidaidd gellir ystyried llawer o ffurfiau yn gasgliadau neu'n rhesi o bwyntiau diddiwedd, anfeidraidd. Caiff ei gynrychioli, fel arfer, fel set o bwyntiau e.e. mae llinell yn set anfeidraidd o bwyntiau, ar ffurf $L=\{(a_1,a_2,...a_n)|a_1{c}_1+a_2{c}_2+...a_n{c}_n=d\}$, lle mae Nodyn:Math hyd at Nodyn:Math a Nodyn:Mvar yn gysonion ac Nodyn:Mvar yn ddimensiwn gofod.

Yn ogystal â diffinio pwyntiau a ffurfiau sy'n gysylltiedig â phwyntiau, trafododd Euclid hefyd y cysyniad allweddol: y gellir cysylltu unrhyw ddau bwynt gan linell syth. Mae hyn yn hawdd ei gadarnhau o dan estyniadau modern o geometreg Ewclidaidd, ac roedd ganddo ganlyniadau parhaol yn ei gyflwyniad, gan ganiatáu adeiladu bron yr holl gysyniadau geometrig a oedd yn wybyddus ar y pryd hwnnw. Fodd bynnag, nid oedd cysyniadau Euclid yn gyflawn nac yn derfynol, ac yn achlysurol nid oedd ei ffeithiau-tybiedig am bwyntiau yn dilyn yn uniongyrchol o'i wirebau, megis trefnu pwyntiau ar y linell neu brofi bodolaeth pwyntiau penodol. Er gwaethaf hyn, mae datblygiadau modern y system yn dileu'r tybiaethau hyn.

Cyfeiriadau

• Clarke, Bowman, 1985, "Individuals and Points," Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61–75.
• De Laguna, T., 1922, "Point, line and surface as sets of solids," The Journal of Philosophy 19: 449–61.
• Gerla, G., 1995, "Pointless Geometries" in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland: 1015–31.
• Alfred North Whitehead, 1919. An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge. Cambridge Univ. Press. ail rifyn, 1925.
• Whitehead, A. N., 1920. The Concept of Nature. Cambridge Univ. Press. 2004 paperback, Prometheus Books. Being the 1919 Tarner Lectures a draddodwyd yng Ngholeg y Drindod, Caergrawnt.
• Whitehead, A. N., 1979 (1929). Process and Reality. Free Press.