Tebygolrwydd amodol

Diagram Euler, sy'n esbonio fod y tebygolrwydd amodol P(A) = 0.30 + 0.10 + 0.12 = 0.52. Fodd bynnag, mae P(A|BNodyn:Sub) = 1, P(A|BNodyn:Sub) = 0.12 ÷ (0.12 + 0.04) = 0.75, a P(A|BNodyn:Sub) = 0.

Mae tebygolrwydd amodol yn fesur o debygolrwydd digwyddiad neu i rywbeth ddigwydd fel canlyniad i ddigwyddiad arall.

Dyweder mai'r digwyddiad dan sylw yw A a bod digwyddiad B yn sicr wedi digwydd, yna "mae tebygolrwydd amodol o A dan amod B", fel arfer yn cael ei sgwennu fel P(A|B), neu weithiau PNodyn:Sub(A) neu P(A/B). Er enghraifft, mae'r tebygolrwydd fod gan un person beswch ar ddiwrnod arbennig yn 5%, dyweder. Ond os gwyddom fod gan y person hwnnw annwyd trwm, yna mae'r siawns iddo fod yn peswch gryn dipyn yn uwch. Gall y siwns i berson gydag annwyd beswch fod mor uchel a 75%.

Disgrifiad drwy ddiagram Venn o debygolrwydd amodol.

Y cysyniad o debygolrwydd amodol yw un o'r cysyniadau mwyaf sylfaenol ac un o'r cysyniadau pwysicaf mewn damcaniaeth tebygolrwydd. Ond gall tebygolrwydd amodol achosi tramgwydd, ac mae angen dehongli'n ofalus. Er enghraifft, nid oes angen perthynas achosol rhwng A a B, ac nid oes rhaid iddynt ddigwydd ar yr un pryd.

Diffiniadau gwahanol

Diffiniad Kolmogorov

Mewn maes-sigma, o fewn tebygolrwydd, os ceir dau ddigwyddiad A a B, gyda'r tebygolrwydd diamod o B (hynny yw, i B ddigwydd), yn fwy na sero – P(B) > 0 – diffinnir tebygolrwydd amodol o A oherwydd B fel cyniferydd y tebygolrwydd o'r ddau ddigwyddiad A a B, a'r tebygolrwydd o B:

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},$

lle nodir tebygolrwydd y ddau ddigwyddiad gan $P(A\cap B)$.

Fel gwireb o debygolrwydd

Gwell gan rai mathemategwyr, fel Bruno de Finetti, gyflwyno tebygolrwydd amodol fel gwireb o debygolrwydd:

$P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$

Mae'r 'gwireb lluosi' yn cyflwyno cymesuredd ar gyfer digwyddiadau cwbwl unigryw:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-{\xcancel{P(A\cap B)}}^0$

Fel tebygolrwydd o ddigwyddiad amodol

Gellir diffinio tebygolrwydd amodol fel y tebygolrwydd o ddigwyddiad amodol $A_B$. O dderbyn fod yr arbrawf sy'n tanlinellu'r digwyddiadau $A$ a $B$ yn cael eu hailadrodd, yna gellir diffinio'r digwyddiad amodol (Goodman-Nguyen-van Fraassen) fel

$A_B=\bigcup _{i\ge 1}(\underset{j<i}{\cap }\overline{B_j},A_i{B}_i)$

Gellir dangos fod

$P(A_B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

sy'n boddhau diffiniad Kolmogorov o debygolrwydd amodol. Sylwer mai canlyniad damcaniaethol yw'r hafaliad:

$P(A_B)=P(A\cap B)/P(B)$ ac nid diffiniad.

Gweler hefyd

• Gofod tebygolrwydd
• Gofod y sampl
• Gwirebau tebygolrwydd