Infolytedd

Ffwythiant $f:X\to X$ yw infolytedd. Pan gaiff ei weithredu ddwywaith, daw'n ôl i'r man cychwyn.

Mewn mathemateg, mae infolytedd yn ffwythiant a ddynodir fel Nodyn:Mvar, sy'n wrthdro ohono'i hun,

Nodyn:Math

ar gyfer pob Nodyn:Mvar yn y parth Nodyn:Mvar.

Mae'r term "gwrth-infolytedd" yn cyfeirio at infolyteddau a seiliwyd ar wrth-homomorffeddau

Nodyn:Math

fel bod

Nodyn:Math.

Nodweddion cyffredinol

Mae pob infolytedd yn ddeudafl (bijection).

Ymhlith yr enghreifftiau pwysicaf mae:

• lluosi gyda -1, mewn rhifyddeg
• cymryd cilyddion
• cyflenwadau yn y ddamcaniaeth setiau a ffurfdroadau
• gwrthroad cylch
• hanner tro

Canfyddwyd niferoedd yr infolyteddau e.e.mewn set gyda'r elfennau Nodyn:Nowrap gan Heinrich Awst Rothe yn 1800, ac mae'n cael ei roi gan berthynas ddychweliadol (recurrence relation):

a₀ = a₁ = 1;

a_n = a_{n − 1} + (n − 1)a_{n − 2}, am Nodyn:Nowrap.

Mae'r dilyniant yn cychwyn: 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232 (dilyniant A000085 yn y OEIS), a chyfeirir ati fel "rhifau ffôn". Mae cyfansoddiad (y ffwythiant) Nodyn:Nowrap dau infolytedd f ac g yn infolytedd os a dim ond os ydynt yn cyfnewid (commute): Nodyn:Nowrap.

Mae gan infolytedd pob odrif o bob elfen o leiaf un pwynt sefydlog. Yn fwy cyffredinol, gellir dweud: ar gyfer infolyteddau ar set meidraidd o elfennau, mae gan nifer yr elfennau a nifer y pwyntiau sefydlog yr un paredd.

Cyn-galcwlws

Enghreifftiau elfennol o infolyteddau yw'r ffwythiannau:

$f_1(x)=-x$,   or   $f_2(x)=\frac{1}{x}$, yn ogystal a'u cyfansoddiad $(f_1\circ f_2)(x)=(f_2\circ f_1)(x)=f_3(x)=-\frac{1}{x}.$

ond nid y rhain yw'r unig infolyteddau cyn-galcwlws. Dyma enghraifft arall, gyda phositif real:

$f(x)=\ln \left(\frac{e^x+1}{e^x-1}\right).$