Amrywiant

Enghraifft o ddwy boblogaeth gyda'r un cymedr ond amrywiannau gwahanol. Mae gan y boblogaeth goch gymedr 100 ac amrywiant 100 (gwiriad safonol 10) tra bod gan y boblogaeth las gymedr 100 ac amrywiant 2500 (gwiriad safonol 50).

Mewn damcaniaeth tebygolrwydd ac ystadegaeth, amrywiant yw disgwyliad gwyriad sgwâr hapnewidyn o'i gymedr. Yn anffurfiol, mae'n mesur i ba raddau y mae set o rifau wedi'u gwasgaru o'u gwerth cymedrig. Mae gan amrywiant rôl bwysig mewn ystadegaeth, lle'i ddefnyddir ar gyfer ystadegaeth ddisgrifiadol, profi rhagdybiaeth, modelu, a samplu Monte Carlo. Mae amrywiant yn bwysig yn y gwyddorau, lle mae dadansoddiad ystadegol o ddata yn gyffredin. Yr amrywiant yw sgwâr y gwyriad safonol. Amrywiant hefyd yw ail foment ganolog dosraniad, a chydamrywiad yr hapnewidyn ag ef ei hun. Cynrychiolir amrywiant yn aml gan ${\sigma }^2$, $s^2$, ac $\mathrm{Var}(X)$.

Diffiniad damcaniaeth tebygolrwydd

Amrywiant hapnewidyn $X$ yw gwerth disgwyliedig (cymedr) y gwyriad sgwâr (pellter sgwâr) o gymedr $X$, $\mu =\mathrm{E}[X]$:

$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2].$

Gellir meddwl am yr amrywiant hefyd fel cydamrywiant hapnewidyn ag ef ei hun:

$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{Cov}(X,X).$

Gellir ehangu'r mynegiad ar gyfer yr amrywiant fel a ganlyn:

$\begin{array}{cc}\mathrm{Var}(X)& =\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X]{)}^2]\\ & =\mathrm{E}[X^2-2X\mathrm{E}[X]+\mathrm{E}[X{]}^2]\\ & =\mathrm{E}\left[X^2\right]-2\mathrm{E}[X]\mathrm{E}[X]+\mathrm{E}[X{]}^2\\ & =\mathrm{E}\left[X^2\right]-\mathrm{E}[X{]}^2\end{array}$

Mewn geiriau eraill, mae amrywiant Nodyn:Mvar yn hafal i gymedr sgwâr Nodyn:Mvar minws sgwâr cymedr Nodyn:Mvar.

Hapnewidyn arwahanol

Os yw generadur hapnewidyn $X$ yn arwahanol gyda ffwythiant màs tebygolrwydd $x_1\mapsto p_1,x_2\mapsto p_2,\dots ,x_n\mapsto p_n$, yna

$\mathrm{Var}(X)=\sum _{i=1}^n{p}_i\cdot (x_i-\mu {)}^2,$

lle $\mu$ yw'r gwerth disgwyliedig (cymedr). Hynny yw,

$\mu =\sum _{i=1}^n{p}_i{x}_i.$

Hapnewidyn parhaus

Os oes gan hapnewidyn $X$ ffwythiant dwysedd tebygolrwydd $f(x)$, gofod cyflwr (parth) Ω, a ffwythiant dosraniad cronnus cyfatebol $F(x)$, yna

$\begin{array}{cc}\mathrm{Var}(X)={\sigma }^2& =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(x-\mu {)}^{2}f(x)dx\\ & =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{x}^{2}f(x)dx-2\mu \underset{ℝ}{\int }xf(x)dx+{\mu }^2\underset{ℝ}{\int }f(x)dx\\ & =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{x}^{2}f(x)dx-2\mu \cdot \mu +{\mu }^2\cdot 1\\ & =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{x}^{2}f(x)dx-{\mu }^2,\end{array}$

lle$\mu$ yw gwerth disgwyliedig (cymedr) $X$ a roddir gan

$\mu =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }xf(x)dx$

Enghreifftiau

Dis teg

Gellir modelu dis teg chwe ochr fel hapnewidyn arwahanol, Nodyn:Mvar, gyda chanlyniadau 1 i 6, pob un â thebygolrwydd cyfartal 1/6. Gwerth disgwyliedig Nodyn:Mvar yw $(1+2+3+4+5+6)/6=7/2.$ Felly, amrywiant Nodyn:Mvar yw

$\begin{array}{cc}\mathrm{Var}(X)& =\sum _{i=1}^6\frac{1}{6}{(i-\frac{7}{2})}^2\\ & =\frac{1}{6}((-5/2{)}^2+(-3/2{)}^2+(-1/2{)}^2+(1/2{)}^2+(3/2{)}^2+(5/2{)}^2)\\ & =\frac{35}{12}\approx 2.92.\end{array}$

Dosraniad esbonyddol

Mae dosraniad esbonyddol gyda pharamedr λ yn ddosraniad parhaus, a rhoddir ei ffwythiant dwysedd tebygolrwydd gan

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$

ar y cyfwng Nodyn:Math. Gellir dangos ei gymedr yw

$\mathrm{E}[X]=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\lambda x{e}^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda }.$

Gan ddefnyddio integreiddio fesul rhan, a defnyddio'r gwerth disgwyliedig a gyfrifwyd eisoes, mae gennym:

$\begin{array}{cc}\mathrm{Var}(X)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{(x-\frac{1}{\lambda })}^2\lambda e^{-\lambda x}dx\\ & =\lambda \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{e}^{-\lambda x}dx-2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-\lambda x}dx+\frac{1}{\lambda }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\lambda x}dx\\ & =\lambda \frac{2}{{\lambda }^3}-2\frac{1}{{\lambda }^2}+\frac{1}{\lambda }\frac{1}{\lambda }\\ & =\frac{1}{{\lambda }^2}\end{array}$

Diffiniad Ystadegaeth

Yn nodweddiadol ni all arsylwadau yn y byd go iawn fod setiau cyflawn o'r holl arsylwadau posibl y gellid eu gwneud, na fydd amleddau'r arsylwadau yn cynrychioli'r tebygolrwyddau yn fanwl cywir. Felly, yn gyffredinol ni fydd yr amrywiant a gyfrifir o'r set gyfyngedig yn cyfateb i'r amrywiant a fyddai wedi'i gyfrifo o'r boblogaeth lawn o arsylwadau posibl. Mae hyn yn golygu bod rhaid yn amcangyfrif y cymedr a'r amrywiant a fyddai wedi cael ei gyfrif o set gyflawn o arsylwadau trwy ddefnyddio hafaliad amcangyfrif. Gelwir hwn yr amrywiant sampl.

Rydym yn cymryd sampl o n gwerth Y₁, ..., Y_n o'r boblogaeth, ac amcangyfrif yr amrywiant ar sail y sampl hon. Mae cymryd amrywiant y data sampl yn uniongyrchol yn rhoi:

${\sigma }_Y^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(Y_i-\bar{Y})}^2.$

Fan hyn mae $\bar{Y}$ yn dynodi cymedr y sampl:

$\bar{Y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i.$

Oherwydd dewiswyd Y_i ar hap, mae $\bar{Y}$ ac ${\sigma }_Y^2$ yn hapnewidynnau. Gallwn gyfrifo'u gwerthoedd disgwyliedig gan:

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}[{\sigma }_Y^2]& =\mathrm{E}\left[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(Y_i-\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{Y}_j)}^2\right]\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\mathrm{E}[Y_i^2-\frac{2}{n}{Y}_i\sum _{j=1}^n{Y}_j+\frac{1}{n^2}\sum _{j=1}^n{Y}_j\sum _{k=1}^n{Y}_k]\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n[\frac{n-2}{n}\mathrm{E}\left[Y_i^2\right]-\frac{2}{n}\sum _{j\ne i}\mathrm{E}\left[Y_i{Y}_j\right]+\frac{1}{n^2}\sum _{j=1}^n\sum _{k\ne j}^n\mathrm{E}\left[Y_j{Y}_k\right]+\frac{1}{n^2}\sum _{j=1}^n\mathrm{E}\left[Y_j^2\right]]\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n[\frac{n-2}{n}({\sigma }^2+{\mu }^2)-\frac{2}{n}(n-1){\mu }^2+\frac{1}{n^2}n(n-1){\mu }^2+\frac{1}{n}({\sigma }^2+{\mu }^2)]\\ & =\frac{n-1}{n}{\sigma }^2.\end{array}$

Felly mae ${\sigma }_Y^2$ yn rhoi amcangyfrif o'r amrywiant poblogaeth sydd â bias ffactor o $\frac{n-1}{n}$. Felly fe elwir ${\sigma }_Y^2$ yr amrywiant sampl bias. Mae cywiro ar gyfer y bias hwn yn rhoi'r amrywiant sampl diduedd, a ddynodir gan $s^2$:

$s^2=\frac{n}{n-1}{\sigma }_Y^2=\frac{n}{n-1}\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(Y_i-\bar{Y})}^2\right)=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(Y_i-\bar{Y})}^2.$