Hafaliad Laplace

Mewn mathemateg, hafaliad differol rhannol yw hafaliad Laplace. Fe'i henwyd ar ôl Pierre-Simon Laplace, a'i dargynfyddodd. Mae datrysiadau'r hafaliad yn bwysig mewn sawl maes gwyddonol (electromagneteg, seryddiaeth, a dynameg hylifau er enghraifft), am eu bod yn disgrifio ymddygiad potensialau trydanol, disgyrchol a hylifol.

Diffiniad

Mewn tri dimensiwn, y broblem yw i ganfod ffwythiannau $\phi$ o newidynnau real x, y, a z, fel y gellid differu $\phi$ dwywaith, a'u bod yn bodloni'r hafaliad:

$\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial z^2}=0.$

Ysgrifennir hyn yn aml fel hyn:

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =0$

neu

$\mathrm{div}\mathrm{grad}\phi =0,$

neu

$\mathrm{\Delta }\phi =0$

lle dynoda Δ y gweithredydd Laplace.

Fe gelwir datrysiadau i'r hafaliad yn ffwythiannau harmonig.

Os roddir ffwythiant ansero f(x, y, z)ar ochr dde'r hafaliad, hynny yw:

$\mathrm{\Delta }\phi =f$

yna gelwir yr hafaliad yn hafaliad Poisson. Hafaliad Laplace a hafaliad Poisson yw'r enghreifftiau symlaf o hafaliad differol eliptig. Gelwir y gweithredydd differol ${\mathrm{\nabla }}^2$ neu $\mathrm{\Delta }$ (a gellid ei diffinio mewn unrhyw nifer o ddimensiynau) yn weithredydd Laplace.

Amodau ffin

Y broblem Dirichlet ar gyfer hafaliad Laplace yw i ganfod datrysiad $\phi$ ar ryw barth $D$ sydd â $\phi$ yn hafal i ffwythiant neilltuol ar ffin $D$. Gan fod y gweithredydd Laplace yn ymddangos yn yrhafaliad gwres, mae'n bosib rhoi dehongliad ffisegol fel a ganlyn: pennwch y dymheredd ar ffin y parth, ac yna disgwyl tan fod tymheredd wedi peidio â newid; yna fe fydd tymheredd y mewnedd yn ddatrysiad i'r broblem Dirichlet cyfatebol.

Mae amodau ffin Neumann ar gyfer yr hafaliad yn pennu'r differiad normal $\phi$ ar $D$, yn hytrach na gwerth $\phi$ ei hun. Yn ffisegol, mae hyn yn cyfateb i lunio potensial ar gyfer maes fectoraidd, lle dim ond ar ffin $D$ y gwyddys effaith y potensial.

Mae ffwythiannau harmonig (hynny yw, datrysiadau i hafaliad Laplace) yn ddadansoddol o fewn y parth lle mae'r hafaliad yn cael ei bodloni. Fel gydag unrhyw hafaliad differol llinol homogenaidd, os mae dau ffwythiant y ddatrysiadau i hafaliad Laplace, yna mae eu swm (neu unrhyw gyfuniad llinol ohonynt am hynny) yn ddatrysiad yn ogystal.