Annibyniaeth (tebygolrwydd)

Mae annibyniaeth yn syniad sylfaenol mewn tebygolrwydd. Mae dau ddigwyddiad yn annibynnol os nad yw digwyddiad un yn effeithio ar y tebygolrwydd y bydd y llall yn digwydd. Yn yr un modd, mae dau hapnewidyn yn annibynnol os nad yw canlyniad un yn effeithio ar ddosraniad tebygolrwydd y llall.

Wrth ddelio â chasgliadau o fwy na dau ddigwyddiad, mae angen gwahaniaethu rhwng syniad gwan a chryf o annibyniaeth. Gelwir y digwyddiadau yn annibynnol fesul pâr os yw unrhyw ddau ddigwyddiad yn y casgliad yn annibynnol o'i gilydd. Mae dweud bod y digwyddiadau yn gydannibynnol yn golygu bod pob digwyddiad yn annibynnol o unrhyw gyfuniad o'r digwyddiadau eraill yn y casgliad. Mae syniad tebyg yn bodoli ar gyfer casgliadau o hapnewidynnau.

Mae'r enw "cydannibyniaeth" ond yn ymddangos er mwyn gwahaniaethu'r syniad cryfach oddi wrth "annibyniaeth fesul pâr", sy'n syniad gwannach. Yn llenyddiaeth theori tebygolrwydd, ystadegau a phrosesau stocastig, enwir y syniad cryfach yn syml yn annibyniaeth. Mae'n gryfach gan fod annibyniaeth yn awgrymu annibyniaeth fesul pâr, ond nid y gwrthwyneb.

Diffiniad

Dau ddigwyddiad

Mae dau ddigwyddiad

$A$

a

$B$

yn annibynnol (weithiau ysgrifennir fel

$A\perp B$

neu

$A\perp \perp B$

) os ac yn unig os yw eu cyd-debygolrwydd yn hafal i luoswm eu tebygolrwyddau:

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$

Mae'r rheswm pam mae hyn yn diffinio annibyniaeth yn fwy eglur wrth ailysgrifennu gyda thebygolrwydd amodol:

$\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)⟺\mathrm{P}(A)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(B)}=\mathrm{P}(A\mid B)$

ac

$\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)⟺\mathrm{P}(B)=\mathrm{P}(B\mid A)$.

Felly, nid yw $B$ yn digwydd yn effeithio ar debygolrwydd $A$, ac i'r gwrthwyneb. Er y gall y mynegiadau sy'n defnyddio tebygolrwyddau amodol ymddangos yn fwy greddfol, nid y rhain yw'r diffiniad gorau, oherwydd gellir diffinio'r tebygolrwyddau amodol os yw $\mathrm{P}(A)$ neu $\mathrm{P}(B)$ yn 0. Ar ben hynny, mae'r diffiniad gwreiddiol yn nodi'n glir trwy gymesuredd os yw $A$ yn annibynnol o $B$, yna mae $B$ hefyd yn annibynnol o $A$.

Mwy na dau ddigwyddiad

Mae set feidraidd o ddigwyddiadau

$\{A_i{\}}_{i=1}^n$

yn annibynnol fesul pâr os yw pob pâr o ddigwyddiadau yn annibynnol — hynny yw, os ac yn unig os ar gyfer pob pâr penodol o fynegeion

$m,k$

, mae:

$P(A_m\cap A_k)=P(A_m)P(A_k)$

Mae set feidraidd o ddigwyddiadau yn gydannibynnol os yw pob digwyddiad yn annibynnol o unrhyw groestoriad o'r digwyddiadau eraill — hynny yw, os ac yn unig os ar gyfer pob

$k\le n$

ac am bob is-set

$\{B_i{\}}_{i=1}^k$

o

$\{A_i{\}}_{i=1}^n$

gyda

$k$

elfen, mae

$P\left(\bigcap _{i=1}^k{B}_i\right)=\prod _{i=i}^{k}P(B_i)$

.

Priodweddau

Hunan-annibyniaeth

Sylwch fod digwyddiad yn annibynnol arno'i hun os ac yn unig os yw

$\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(A\cap A)=\mathrm{P}(A)\cdot \mathrm{P}(A)\iff \mathrm{P}(A)=0\text{ or }\mathrm{P}(A)=1$.

Felly mae digwyddiad yn annibynnol arno'i hun os ac yn unig os yw'n digwydd sicr neu os yw ei gyflenwad yn sicr.

Gwerth disgwyliedig a chydamrywiad

Os yw $X$ ac $Y$ yn hapnewidynnau annibynnol, yna mae gan ei gwerthoedd disgwyliedig y briodwedd bod

$\mathrm{E}[XY]=\mathrm{E}[X]\mathrm{E}[Y],$

a'r cydamrywiad $\mathrm{cov}[X,Y]$ yw sero, oherwydd taw

$\mathrm{cov}[X,Y]=\mathrm{E}[XY]-\mathrm{E}[X]\mathrm{E}[Y]$.

Nid yw'r gwrthwyneb yn wir: os oes gan ddau hapnewidyn cydamrywiad o 0 mae'n bosib na fyddant yn annibynnol.