Differu

Graff o ffwythiant mewn du, a llinell tangiad y ffwythiant mewn coch. Mae graddiant y llinell tangiad yn gyfartal â differiad y ffwythiant ar y pwynt sydd wedi ei farcio.

Mae'r cord (glas) yn fras amcan o'r tangiad ar y pwynt (x, f(x)).

Mesuriad o sut mae ffwythiant mathemategol yn newid wrth i'r mewnbynnau newid yw differu. Mae'n rhan o gangen calcwlws o fathemateg.

Diffiniad

Cyn i Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz ddarganfod calcwlws yn y 1670au, fe wyddid eisoes fod graddiant y llinell syth, y = mx + c, yn hafal i newid mewn y wedi ei rannu gan newid mewn x; Δy/Δx = m. Fe wyddid hefyd fod graddiant cromlin ar ryw bwynt yn hafal i raddiant y tangiad ar y pwynt hwnnw. Ond nid oedd ffordd gydlynol o ganfod graddiant cromliniau ac felly ni allai gwyddonwyr astudio cyfraddau anghyson yn hawdd. Ysgogodd y broblem hon ddatblygiad calcwlws.

Nid dim ond y sy'n ffwythiant o x, mae graddiant y gromlin y = f(x) yn ffwythiant o x hefyd gan nad ydyw'n gyson. Y differiad yw'r ffwythiant hwn. Ystyriwch ddau bwynt sy'n agos iawn at ei gilydd ar y gromlin: (x,y) ac (x + Δx, y + Δy). Po leiaf yw Δx (ac felly Δy), yr agosaf y mae Δy/Δx at y graddiant ar y pwynt (x,y), a phan fo Δx yn agosáu at 0, mae Δy/Δx yn agosáu at derfyn sy'n hafal i raddiant y gromlin ar y pwynt (x,y). Y differiad yw'r terfyn (lim) hwn ac fel arfer fe ddefnyddir y nodiant dy/dx i'w symboleiddio:

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{(y+\mathrm{\Delta }y)-y}{(x+\mathrm{\Delta }x)-x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$

Gan fod y = f(x), gellir canfod ffwythiant y graddiant f '(x), y differiad, drwy ddefnyddio algebra:

$f^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

Enghraifft

Wrth ddiferu'r ffwythiant, $f(x)=x^2$, ceir:

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2-x^2}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{x^2+2x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2-x^2}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }(2x+\mathrm{\Delta }x)\\ & =2x\end{array}$

Hynny yw, wrth i Δx agosáu at 0, mae (2x + Δx) yn agosáu at derfyn o 2x. Felly fe gasglwn fod y graddiant ar unrhyw bwynt ar y gromlin f(x) = x² yn hafal i 2 wedi'i luosi â chyfeirnod x y pwynt hwnnw. Er enghraifft y graddiant ar y pwynt (4,16) yw f '(4) = 2 × 4 = 8.

Differiadau cyffredin

Ffwythiannau cyffredin

Isod gweler rhestr o ddifferiadau'r ffwythiannau a ddefnyddir fynychaf mewn calcwlws:

$\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$

$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$

$\frac{d}{dx}\tan x={\sec }^{2}x$

$\frac{d}{dx}{\log }_{a}x=\frac{1}{x\ln a}$

$\frac{d}{dx}{a}^x=a^x\ln a$

Rheolau cyffredinol

Mae hefyd ar gael reolau cyffredinol er mwyn hwyluso'r broses o gyfrifo differiadau cymhleth:

• Rheol adio:

$\frac{d}{dx}(f(x)+g(x))=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$

• Rheol lluosi:

$\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=f^{\prime }(x)g(x)+g^{\prime }(x)f(x)$

• Rheol cadwyn:

$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$

Dolenni allanol

• Cyfrifiannell Ffwythiant WIMS sy'n cyfrifo'r difer ar-lein; mae'r meddalwedd yn galluogi ymarferion rhyngweithiol.
• Cyfrifiannell gwahaniaethu.
• Cyfrifiannell Differu ar-lein.
• "Mathematical Assistant on Web"Nodyn:Dolen marw Cyfrifiannell Differu ar-lein, gan gynnwys eglurhad o'r ateb.
• Proving Derivatives from First Principles.
• Practice finding derivatives of randomly generated functions