Hafaliadau Cauchy–Riemann

Darlun gweledol o fector X mewn parth: * yn cael ei luosi â rhif cymhlyg z, yna ei fapio ag f, * yn cael ei fapio â f yna ei luosi â z wedi hynny. Os yw'r ddau o'r rhain yn cymryd y pwynt i'r un lle ar gyfer pob X a z, yna mae f yn bodloni'r amod Cauchy-Riemann.

Ym maes dadansoddi cymhlyg o fewn mathemateg, mae'r hafaliadau Cauchy-Riemann, a enwir ar ôl Augustin Cauchy a Bernhard Riemann, yn cynnwys system o ddau hafaliad differol rhannol sydd, ynghyd â meini prawf penodol ar gyfer di-doredd a differadwyedd, yn ffurfio amod angenrheidiol a digonol ar gyfer a ffwythiant cymhlyg i fod yn gymhlyg differadwy, hynny yw, yn holomorffig. Ymddangosodd y system hafaliadau yma'n gyntaf yng ngwaith Jean le Rond d'Alembert. Yn ddiweddarach, cysylltodd Leonhard Euler y system hon â'r ffwythiannau dadansoddol. Yna defnyddiodd Cauchy yr hafaliadau hyn i lunio ei theori ffwythiannau. Ymddangosodd traethawd hir Riemann ar theori ffwythiannau ym 1851.

Yr hafaliadau Cauchy-Riemann ar bâr o ffwythiannau gwerth-real dau newidyn real u(x, y) a v(x, y) yw'r ddau hafaliad:

$\begin{array}{cc}(1a)& \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ (1b)& \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\end{array}$

Fel arfer cymerir u a v i fod y rhannau real a dychmygol yn y drefn honno o ffwythiant cymhlyg â gwerth newidyn cymhlyg sengl Nodyn:Dimamlapio, Nodyn:Dimamlapio. Tybiwch fod u ac v yn nifferadwy-real ar bwynt mewn is-set agored o ℂ, y gellir ei ystyried yn ffwythiannau o ℝ² i ℝ. Mae hyn yn awgrymu bod deilliadau rhannol u ac v yn bodoli (er nad oes angen iddynt fod yn ddi-dor) a gallwn amcangyfrif amrywiadau bach o f yn llinol. Yna mae Nodyn:Dimamlapio yn nifferadwy-cymhlyg ar y pwynt hwnnw os ac yn unig os yw deilliadau rhannol u a v yn bodloni'r hafaliadau Cauchy-Riemann (1a) ac (1b) ar y pwynt hwnnw. Nid yw fodolaeth deilliadau rhannol sy'n bodloni'r hafaliadau Cauchy-Riemann yn unig yn ddigon i sicrhau differadwyedd-cymhlyg ar y pwynt hwnnw. Mae'n angenrheidiol bod u ac v yn nifferadwy-real, sy'n gyflwr cryfach na bodolaeth y deilliadau rhannol, ond yn gyffredinol, yn wannach na differadwyedd di-dor.

Mae holomorffedd yn briodwedd ffwythiant cymhlyg gan ei fod yn ddifferadwy ym mhob pwynt o is-set agored gysylltiedig o ℂ (gelwir hyn yn barth yn ℂ). O ganlyniad, gallwn ddweud bod ffwythiant cymhlyg f, y mae ei rhannau real a dychmygol u ac v yn ffwythiannau differadwy real, yn holomorffig os a dim ond os yw hafaliadau (1a) ac (1b) wedi'u bodloni trwy gydol y parth. Mae ffwythiannau holomorffig yn ddadansoddol ac mae ffwythiannau dadansoddol yn holomorffig. Mae hyn yn golygu, mewn dadansoddiad cymhlyg, bod ffwythiant sy'n differadwy-cymhlyg dros barth cyfan (holomorffig) yr un peth â ffwythiant dadansoddol. Nid yw hyn yn wir am ffwythiannau real.

Enghraifft syml

Tybiwch fod $z=x+iy$. Mae'r ffwythiant gwerth cymhlyg$f(z)=z^2$ yn nifferadwy ar unrhyw bwynt z yn y plân cymhlyg.

$f(z)=(x+iy{)}^2=x^2-y^2+2ixy$

Y rhannau real $u(x,y)$ a ddychmygol $v(x,y)$ yw

$u(x,y)=x^2-y^2$

$v(x,y)=2xy$

ac mae eu deilliadau rhannol yn

$u_x=2x;u_y=-2y;v_x=2y;v_y=2x$

Gwelwn fod yr hafaliadau Cauchy-Riemann wedi bodloni, yn wir,$u_x=v_y$ a $u_y=-v_x$

Dehongliad

Mae'r hafaliadau yn un ffordd o edrych ar yr amod ar ffwythiant i fod yn nifferadwy yn yr ystyr ddadansoddiad cymhlyg: mewn geiriau eraill maent yn crynhoi'r syniad o ffwythiant gwerth cymhlyg trwy gyfrwng calcwlws differol confensiynol.

Tybiwch fod

$f(z)=u(z)+i\cdot v(z)$

yn ffwythiant o rif cymhlyg z. Yna diffinnir deilliad cymhlyg f ar bwynt z₀ gan

$\underset{\underset{h\in ℂ}{h\to 0}}{\lim }\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=f^{\prime }(z_0)$

yn amodol bod y terfan hwn yn bodoli.

Os yw'r terfyn hwn yn bodoli, yna gellir ei gyfrifo trwy gymryd y terfan wrth i h → 0 ar hyd yr echelin real neu'r echelin ddychmygol; yn y naill achos neu'r llall, dylai roi'r un canlyniad. Wrth agosáu ar hyd yr echelin real, darganfyddwn fod

$\underset{\underset{h\in ℝ}{h\to 0}}{\lim }\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\frac{\partial f}{\partial x}(z_0).$

Ar y llaw arall, wrth agosáu ar hyd yr echelin ddychmygol,

$\underset{\underset{h\in ℝ}{h\to 0}}{\lim }\frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{ih}=\frac{1}{i}\frac{\partial f}{\partial y}(z_0).$

Hafaliad deilliad f a gymerir ar hyd y ddwy echelin yw

$i\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)=\frac{\partial f}{\partial y}(z_0),$

sef hafaliadau Cauchy-Riemann (2) ar y pwynt z₀.

I'r gwrthwyneb, os yw f : ℂ → ℂ yn ffwythiant y gellir ei differu wrth gael ei hystyried fel ffwythiant ar ℝ², yna mae f yn nifferadwy-cymhlyg os ac yn unig os yw'r hafaliadau Cauchy-Riemann wedi bodloni. Mewn geiriau eraill, os yw u ac v yn ffwythiannau differol real o ddau newidyn real, yn amlwg mae u + iv yn ffwythiant (gwerth cymhlyg) differadwy-real, ond mae u + iv yn nifferadwy-gymhlyg os ac yn unig os yw'r hafaliadau Cauchy-Riemann wedi'u bodloni.

Dolenni allanol

• Nodyn:MathWorld
• Cauchy–Riemann Equations Module by John H. Mathews