Plân geometraidd

Dau blân geometraidd yn croestori

Tri plân cyfochrog

Mewn mathemateg, mae plân yn arwyneb fflat, dau ddimensiwn sy'n ymestyn yr anfeidraidd ymhell. Plân yw'r analog dau ddimensiwn o bwynt (heb ddimensiwn), llinell (un dimensiwn) a lle (neu 'ofod') tri dimensiwn. Gall planau fodoli fel is-blanau (subspaces) hefyd, is-blanau o ryw ddimensiwn uwch, fel ystafell o fewn tŷ gada'i waliau'n cael eu hymestyn am byth, y tu allan i'r dyluniad. Dyma a wneir mewn geometreg Ewclidaidd.

Wrth weithio'n gyfan gwbl mewn gofod Ewclidaidd dau ddimensiwn, defnyddir y fannod (y plân), felly mae'r plân yn cyfeirio at y gofod cyfan. Mae llawer o dasgau sylfaenol mewn mathemateg, geometreg, trigonometreg, theori graff, a graffio yn cael eu gwneud mewn lle dau ddimensiwn, neu, mewn geiriau eraill, yn y plân.

Geometreg Ewclidaidd

Fel llawer o gysyniadau mathemategol, Euclid oedd y cyntaf i grynhoi ei feddwl yn daclus yn y maes hwn (a'i gofnodi yn yr Elfennau), a hynny mewn dull gwirebol (axiomatic). Dewisodd lond dwrn o dermau craidd, heb eu diffinio (a elwir yn 'ofynion cyffredinol'; common notions) a 'chynosodau' (neu 'wirebau'); defnyddiodd y rhain i brofi nifer o ddatganiadau geometrig. Er nad yw'r plân, yn ei ystyr fodern, yn cael ei ddiffinio'n o fewn yr Elfennau, gellir ei ystyried fel rhan o'r gofynion cyffredinol. Ni ddefnyddiodd Euclid rifau erioed i fesur hyd, ongl, neu ardal. Oherwydd hyn, nid yw plân Ewclid yn union yr un fath â'r plân Cartesaidd.

Arwyneb a rannwys ar ffurf grid, felly, yw'r plân Ewclidaidd.

Planau tri dimensiwn mewn gofod Ewclidaidd

Mewn gofod Ewclidaidd o unrhyw nifer o ddimensiynau, mae plân wedi'i bennu'n unigryw gan unrhyw un o'r canlynol:

• Tri phwynt nad yw'n unllin (non-collinear) (pwyntiau ddim ar linell sengl).
• Llinell a phwynt heb fod ar y linell honno.
• Dwy linell wahanol sy'n croestorri.
• Dwy linell gyfochrog.

Nodweddion

Mae'r datganiadau canlynol yn dal mewn gofod Ewclidaidd tri dimensiwn ond nid mewn dimensiynau uwch, er bod ganddynt analog uwch-ddimensiwn:

• Mae dwy blân wahanol naill ai'n gyfochrog neu maent yn croestorri mewn llinell.
• Mae llinell naill ai'n gyfochrog i'r plân, yn ei groestorri ar un pwynt, neu wedi'i gynnwys yn y plân.
• Rhaid i ddwy linell wahanol, berpendicwlar i'r un plân fod yn gyfochrog â'i gilydd.
• Rhaid i ddwy plân wahanol sy'n perpendicwlar i'r un linell fod yn gyfochrog â'i gilydd.

Hafaliadau'r plân

Mae gan blanau mewn gofod tri dimensiwn ddisgrifiad naturiol gan ddefnyddio pwynt yn y plân a fector orthogonal iddo (y fector arferol) i nodi ei "oledd" (inclination).

Pe ddywedir fod Nodyn:Math yn fector safle o ryw bwynt Nodyn:Math, a bod Nodyn:Math yn fector di-sero. Mae'r plân a bennir gan y pwynt Nodyn:Math a'r fector Nodyn:Mvar yn cynnwys y pwyntiau Nodyn:Math, gyda fectorau safle Nodyn:Mvar, fel bod y fector a dynnir o Nodyn:Math i Nodyn:Math yn berpendicwlar i Nodyn:Mvar. O dwyn i gof bod y ddau factor hyn yn berpendicwlar os yw eu lluoswm-dot yn sero, yna, mae'n dilyn y gellir disgrifio'r plân fel set o bob pwynt Nodyn:Mvar fel bod:

$𝐧\cdot (𝐫-{𝐫}_0)=0.$

(Mae'r dot yma'n gyfystyr â'r lluoswm-dot (neu 'luoswm sgalar'). O'i ehangu, fe geir:

$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0,$

sef y ffurf 'pwynt normal' o hafaliad y plân. hafaliad llinol yw hwn

$ax+by+cz+d=0,$

ble mae

$d=-(a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0).$

Y gwrthwyneb: os yw Nodyn:Math a Nodyn:Math yn gysonion ac nad yw Nodyn:Math, na Nodyn:Math i gyd yn sero, yna mae graff yr hafaliad

$ax+by+cz+d=0,$

yn blân sydd a'i fector Nodyn:Math yn normal. Dyma'r dull arferol o gyflwyno hafaliad y plân.

Gweler hefyd

• Plân arosgo (planau arosgo) - (oblique plane)
• Plân ar oledd - inclined plane
• plân cyfeirnod - plane of reference
• plân cymesuredd plane of symmetry