Cyfres Taylor

Wrth i raddfa polynomial Taylor godi, mae'n dod yn nes ac yn nes at y ffwythiant cywir. Yn y diagram yma, gwelir fod: Nodyn:Math a'i frasamcanion Taylor, polynomialau o radd 1, 3, 5, 7, 9, 11 a 13.

Mewn mathemateg, mae cyfres Taylor yn cynrychioli ffwythiant fel swm anfeidraidd o dermau a gyfrifir o werthoedd deilliannau'r ffwythiant (the function's derivatives) ar un pwynt.

Mae'r defnydd cyntaf o gyfres Taylor i'w ganfod yn India, yng ngwaith y mathemategydd Mādhava o Sangamagrāma (c. 1340 – c. 1425), gwaith sydd bellach ar goll. Dyfynnir llawer o'r gwaith gan fathemategwyr Indiaidd eraill, a gan Ysgol Seryddiaeth Kerala, a gwyddom iddo lunio rhywbeth agos iawn at yr hyn a adnabyddir heddiw fel "cyfres Taylor". Roedd ei ddefnydd o'r gyfres yn berthnasol i ffwythiannau trigonometrig sin, cosin, tangiad, a gwrthdangiad.

Lluniwyd y cysyniad modern o gyfres Taylor gan y mathemategydd Albanaidd James Gregory ond a gyflwynwyd yn ffurfiol gan y mathemategydd Saesneg Brook Taylor yn 1715. Os yw cyfres Taylor yn canolbwyntio ar sero, yna gelwir y gyfres honno hefyd yn "gyfres Maclaurin", a enwir ar ôl y mathemategydd Albanaidd Colin Maclaurin, a wnaeth ddefnydd helaeth o'r achos arbennig hwn o gyfres Taylor yn y 18g.

Diffiniad

Yng nghyfres Taylor, y ffwythiant (real a chymhlyg) Nodyn:Math sy'n ddifferol anfeidraidd (infinitely differentiable) ar rif real neu rif cymhlyg Nodyn:Math yw'r gyfres isradd

$f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{‴}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots ,$

a ellir ei sgwennu mewn ffurf mwy crynno (nodiant sigma) fel

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n,$

lle mae Nodyn:Math yn dynodi ffactorial Nodyn:Mvar a lle mae Nodyn:Math yn dynodi'r Nodyn:Mvarfed deilliant o Nodyn:Mvar a werthuswyd ar bwynt Nodyn:Mvar. Mae deilliant trefn sero Nodyn:Mvar yn cael ei ddiffinio i fod yn Nodyn:Mvar ei hun ac mae Nodyn:Math a Nodyn:Math ill dau yn cael eu diffinio i fod yn 1. Pan fo Nodyn:Math, yna gelwir y gyfres yn "gyfres Maclaurin".