Rhif cymhlyg

Gellir cynrychioli rhif cymhlyg, yn weledol, fel pâr o rifau Nodyn:Math sy'n ffurfio fector ar ddiagram o'r enw 'diagram Argand', sy'n cynrychioli'r 'plân gymhlyg'. "Re" yw'r echelin real, "Im" yw'r echelin dychmygol, ac mae Nodyn:Math yn bodloni Nodyn:Math.

Rhif cymhlyg yw'r rhif y gellir ei fynegi fel Nodyn:Math, lle mae Nodyn:Math a Nodyn:Math yn rhifau real, ac mae Nodyn:Math yn ateb i'r hafaliad Nodyn:Math. Gan nad oes unrhyw rif real yn bodloni'r hafaliad hwn, gelwir Nodyn:Math yn "rhif dychmygol". Ar gyfer y rhif cymhlyg Nodyn:Math, gelwir Nodyn:Math yn "rhan real", a gelwir Nodyn:Math yn "rhan ddychmygol". Er gwaethaf yr ystyr arferol i'r gair "dychmygol", ystyrir rhifau cymhlyg yn y gwyddorau mathemategol yn "gwbwl real", fel rhifau real, ac maent yn sylfaenol mewn sawl agwedd o'r disgrifiad gwyddonol o'r byd naturiol.

Gellir diffinio'r system rhif cymhlyg fel estyniad algebraidd o'r rhifau real cyffredin trwy rif dychmygol Nodyn:Math. Mae hyn yn golygu y gellir ychwanegu, tynnu a lluosi rhifau cymhlyg, fel polynomialau yn y newidyn i, gyda'r rheol Nodyn:Math wedi'i osod. At hynny, gellir rhannu rhifau cymhlyg hefyd gyda rhifau cymhlyg di-sero. Ar y cyfan, mae'r system rhif cymhlyg yn faes o fewn mathemateg.

Mae rhifau cymhlyg yn arwain at theorem sylfaenol algebra: mae gan bob hafaliad polynomial nad yw'n gyson â chyfernodau (neu 'gyd-berthynas'; coefficients) ateb cymhleth. Mae'r nodwedd hon yn wir am y rhifau cymhlyg, ond nid y rhifau real. Credir bod y mathemategydd Eidalaidd o'r 16g, Gerolamo Cardano, wedi cyflwyno rhifau cymhlyg yn ei ymdrechion i ddod o hyd i atebion i hafaliadau ciwbig.

Mewn geometreg, mae rhifau cymhlyg yn ymestyn y cysyniad o'r linell-rif un dimensiwn i'r plân gymhlyg dau ddimensiwn, trwy ddefnyddio'r echel lorweddol ar gyfer y rhan real a'r echelin fertigol ar gyfer y rhan ddychmygol. Gellir adnabod y rhif cymhlyg Nodyn:Math gyda'r pwynt Nodyn:Math yn y plân gymhlyg.

Gellir dweud fod rhif cymhlyg y mae ei ran real yn sero yn rhif dychmygol llwyr; mae'r pwyntiau ar gyfer y rhifau hyn yn gorwedd ar echelin fertigol y plân gymhlyg. Mae rhif cymhlyg y mae ei ran ddychmygol yn sero yn gallu cael ei ystyried yn rhif go iawn; mae ei bwynt yn gorwedd ar echel lorweddol y plân gymhlyg. Gellir hefyd gynrychioli rhifau cymhlyg mewn ffurf pegynnol, sy'n cysylltu pob rhif cymhlyg gyda'i bellter o'r tarddiad (ei faint) a chydag ongl benodol a elwir yn "argiau (neu 'ymresymiad') y rhif cymhlyg" hwn.

Fel hyn, diffinnir rhif cymhlyg fel polynomial gyda chyfernodau go-iawn yn yr un amhenodol Nodyn:Math, lle mae ei berthynas Nodyn:Math ar ei gyfer. Yn seiliedig ar y diffiniad hwn, gellir adio a lluosi rhifau cymhlyg, gan ddefnyddio'r adio a'r lluosi ar gyfer polynomialiaid. Mae'r berthynas Nodyn:Math yn cymell y cydraddoldebau i Nodyn:Math acNodyn:Math sy'n dal yr holl gyfanrifau Nodyn:Mvar; mae'r rhain yn caniatáu lleihau unrhyw polynomial sy'n deillio o adio a lluosi rhifau cymhlyg i bolynomial llinol yn Nodyn:Mvar, ac eto o'r ffurf Nodyn:Math gyda chyfernodau go-iawn Nodyn:Mvar

Trosolwg

Ceir atebion i rai hafaliadau sy'n ymwneud â rhifau cymhlyg, ond ni cheir atebion i hafaliadau sy'n ymwneud â rhifau real. Er enghraifft, nid oes i'r hafaliad:

$(x+1{)}^2=-9$

ateb real, gan na all sgwâr rhif real fod yn negatif. Mae gan rhifau cymhlyg ateb i'r broblem hon. Gellir ymestyn y rhifau real gydag "Nodyn:Math" amhenderfynedig (indeterminate), a elwir, weithiau, yn "uned amhenderfynedig" ac a ddefnyddir i fodloni'r berthynas Nodyn:Math, fel bod atebion i broblemau fel hyn yn bosibl. Yn yr achos yma, yr ateb yw: Nodyn:Math and Nodyn:Math. Gellir dilysu hyn gan ddefnyddio'r ffaith fod Nodyn:Math:

$((-1+3i)+1{)}^2=(3i{)}^2=(3^2)(i^2)=9(-1)=-9,$

$((-1-3i)+1{)}^2=(-3i{)}^2=(-3{)}^2(i^2)=9(-1)=-9.$

Yn ôl theorem sylfaenol algebra, mae pob hafaliad polynomial a wneir hyda rhifau real neu gymhlyg gydag un newidyn, yn rhoi ateb a roddir mewn rhifau cymhlyg.

Yn grynno

Mynegir rhif cymhlyg gyda'r nodiant

$a+bi$

lle mae a a b yn rhifau real. i yw'r uned ddychmygol, ac fe'i diffinnir fel y gwerth ar gyfer x sy'n bodloni'r hafaliadau canlynol:

$x^2+1=0$

$x^2=-1$

$x=\sqrt{-1}$

Diffiniad

Rhif cymhlyg yw nifer o'r ffurf Nodyn:Math lle mae Nodyn:Mvar a Nodyn:Mvar yn rhifau real, ac Nodyn:Math yn amhenodol sy'n bodloni Nodyn:Math. Er enghraifft, mae Nodyn:Math yn rhif cymhlyg.

Gelwir y rhif real yn y rhan real o'r nifer cymhlyg Nodyn:Math; a gelwir y rhif real Nodyn:Mvar yn rhan ddychmygol. I bwysleisio nad oes gan y rhan ddychmygol ffactor Nodyn:Mvar; hynny yw, y rhan ddychmygol yw Nodyn:Mvar, ac nid Nodyn:Math.

Nodiant

Gellir ystyried rhif real Nodyn:Mvar fel rhif cymhlyg Nodyn:Math, lle mae ei ran ddychmygol yn 0. Mae'r rhif dychmygol Nodyn:Math yn rhif cymhlyg Nodyn:Math, lle mae eu rhan real yn sero. Yn yr un modd â pholynomialiaid, mae'n arferol ysgrifennu Nodyn:Mvar gyfer Nodyn:Math a Nodyn:Math gyfer Nodyn:Math. Ar ben hynny, pan fo'r rhan ddychmygol yn negyddol, hynny yw, Nodyn:Math, ysgrifennir Nodyn:Math yn lle Nodyn:Math; er enghraifft, ar gyfer Nodyn:Math, gellir ysgrifennu Nodyn:Math yn hytrach na Nodyn:Math.

Dynodir rhan go iawn rhif cymhlyg Nodyn:Mvar gyda Nodyn:Math, $ℛℯ(z)$, neu $\Re (z)$ ; dynodir rhan ddychmygol rhif cymhleth Nodyn:Mvar gyda Nodyn:Math, $ℐ𝓂(z)$, neu $\Im (z).$ Er enghraifft:$$\mathrm{Re}(2+3i)=2\text{ and }\mathrm{Im}(2+3i)=3.$$Dynodir y set o'r holl rifau cymhlyg gan $ℂ$(testun trwm bwrdd du ) neu Nodyn:Math (testun trwm unionsyth). Mewn rhai disgyblaethau, yn enwedig ym maes electromagnetiaeth a pheirianneg drydanol, defnyddir Nodyn:Mvar yn lle Nodyn:Mvar gan fod Nodyn:Mvar yn cael ei ddefnyddio'n aml i gynrychioli cerrynt trydan. Yn yr achosion hyn, ysgrifennir y rhifau cymhlyg fel Nodyn:Math, neu .Nodyn:Math

Delweddu

Rhif cymhleth z, fel pwynt (du) a'i fector safle (glas)

Felly gellir nodi rhif cymhlyg z gyda phâr trefnus $(\mathrm{\Re }(z),\mathrm{\Im }(z))$ o rifau real, y gellir yn eu tro eu dehongli fel cyfesurynnau pwynt mewn gofod dau ddimensiwn. Y gofod mwyaf uniongyrchol yw'r plân Ewclidaidd gyda chyfesurynnau addas, a elwir wedyn yn blân cymhlyg neu ddiagram Argand, a enwir ar ôl Jean-Robert Argand. Gofod amlwg arall y gellir rhagamcanu'r cyfesurynnau arno yw arwyneb dau ddimensiwn sffêr, a elwir wedyn yn sffêr Riemann.

Plân cymhlyg pegynol

Mae dadl φ a modwlws Nodyn:Mvar lleoli pwynt yn y plân cymhlyg.

Dewis arall ar gyfer cyfesurynnau yn y plân cymhlyg yw'r system gyfesurynnau pegynol sy'n defnyddio pellter y pwynt Nodyn:Mvar o'r tarddiad (Nodyn:Mvar), a'r ongl wedi'i hymestyn rhwng yr echel real gpositif a'r segment llinell Nodyn:Mvar mewn ystyr gwrthglocwedd. Mae hyn yn arwain at ffurf begynol rhifau cymhlyg.

Gwerth absoliwt (neu fodwlws neu faint) rhif cymhlyg Nodyn:Math yw$$r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$$Os yw Nodyn:Mvar yn rhif real (hynny yw, os Nodyn:Math), yna Nodyn:Math. Hynny yw, mae gwerth absoliwt rhif real yn hafal i'w werth absoliwt fel rhif cymhlyg.

Yn ôl theorem Pythagoras, gwerth absoliwt rhif cymhlyg yw'r pellter i darddiad y pwynt sy'n cynrychioli'r rhif cymhlyg yn y plân cymhlyg.