Croestoriad setiau

Mewn mathemateg, croestoriad dwy set $A$ a $B,$ wedi'i ddynodi gan $A\cap B,$ yw'r set sy'n cynnwys holl elfennau $A$ sydd hefyd yn perthyn i set $B$; hy pob elfen o $B$ sydd hefyd yn perthyn i $A.$ Mae'n un o'r gweithrediadau sylfaenol lle gellir cyfuno setiau a'u cysylltu â'i gilydd.

Nodiant a therminoleg

Ysgrifennir croestoriad gan ddefnyddio'r symbol "$\cap$"rhwng y termau. Er enghraifft:$$\{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}$$$$\{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing$$$$\mathbb{Z}\cap \mathbb{N}=\mathbb{N}$$$$\{x\in ℝ:x^2=1\}\cap \mathbb{N}=\{1\}$$Gellir ysgrifennu croestoriad mwy na dwy set (croestoriad cyffredinol) fel:$$\bigcap _{i=1}^n{A}_i$$sy'n debyg i nodiant priflythyren-sigma.

Diffiniad

Croestoriad tair set:
$A\cap B\cap C$

Enghraifft o groestoriad â setiau

Croestoriad dwy set $A$ a $B,$ wedi'i ddynodi gan $A\cap B$, yw'r set o'r holl wrthrychau sy'n aelodau o'r ddwy set $A$ a $B.$ Mewn symbolau:$$A\cap B=\{x:x\in A\text{ and }x\in B\}.$$Hynny yw, mae $x$ yn elfen o'r croestoriad $A\cap B$ os ac yn unig os yw $x$ yn elfen o $A$ ac yn elfen o $B.$

Er enghraifft:

• Croestoriad y setiau {1, 2, 3} a {2, 3, 4} yw {2, 3}.
• Nid yw'r rhif 9 yn y groesffordd y set o rifau cysefin {2, 3, 5, 7, 11, ...} a set o odrifau {1, 3, 5, 7, 9, 11, .. .}, oherwydd nid yw 9 yn rhif gysefin.

Priodweddau algebraidd

Mae croestoriad deuaidd yn weithrediad cysylltiol (associative); hynny yw, ar gyfer unrhyw setiau $A,B,$ a $C,$ mae $$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C.$$Felly gellir hepgor y cromfachau heb amwysedd, gan ysgrifennu un o'r uchod fel $A\cap B\cap C$. Mae croestoriad hefyd yn gymudol (commutative). Hynny yw, i unrhyw un $A$ a $B,$ mae gan un$$A\cap B=B\cap A.$$Mae croestoriad unrhyw set â'r set wag yn arwain at y set wag; hynny yw, ar gyfer unrhyw set $A$,$$A\cap \varnothing =\varnothing$$Hefyd, mae'r gweithrediad croestoriad yn idempotent; hynny yw, mae unrhyw set $A$ yn bodloni $A\cap A=A$. Mae'r holl briodweddau hyn yn dilyn o ffeithiau tebyg am gysylltiad rhesymegol (logical conjunction).

Mae croestoriad yn dosbarthu dros uniad ac mae uniad yn dosbarthu dros groestoriad. Hynny yw, ar gyfer unrhyw setiau $A,B,$ a $C,$ mae$$\begin{array}{c}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\ A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{array}$$Y tu mewn i fydysawd $U,$ gellir diffinio'r cyflenwad $A^c$ o $A$ i fod yn set o bob elfen o $U$ sydd ddim yn $A.$ Ar ben hynny, gellir sgwennu croestoriad $A$ a $B$ fel cyflenwad uniad eu cyflenwadau, sy'n deillio'n hawdd o ddeddfau De Morgan:$$A\cap B={(A^c\cup B^c)}^c$$

Darllen pellach

• Nodyn:Cite book
• Nodyn:Cite book
• Nodyn:Cite book

Dolen allanol

• Nodyn:MathWorld