Corn Gabriel

Darlun 3D o gorn Gabriel.

Ffigwr geometreg yw Corn Gabriel (a elwir hefyd yn trymped Torricelli) sydd ag arwynebedd anfeidraidd ond cyfaint meidraidd. Mae'r enw'n cyfeirio at y traddodiad Abrahamaidd lle mae'r archangel Gabriel yn chwythu'r corn i gyhoeddi Dydd y Farn, sy'n gysylltu'r dwyfol, neu'r anfeidrol, â'r meidraidd. Astudiwyd priodweddau'r ffigur hwn gyntaf gan y ffisegydd a mathemategydd Eidalaidd Evangelista Torricelli yn yr 17g.

Diffiniad mathemategol

Graff $x\mapsto \frac{1}{x}$.

Ffurfir corn Gabriel trwy gymryd y graff

$x\mapsto \frac{1}{x},$

gyda'r parth $x\ge 1$, a'i gylchdroi mewn tri dimensiwn o amgylch yr echelyn-Nodyn:Mvar. Darganfuwyd yn wreiddiol gan ddefnyddio egwyddor Cavalieri cyn cafodd calcwlws ei ddyfeisio. Heddiw gallwn defnyddio calcwlws i gyfrifo cyfaint ac arwynebedd y corn rhwng Nodyn:Math ac Nodyn:Math, lle Nodyn:Math. Trwy ddefnyddio integreiddio mae'n bosib dod o hyd i'r cyfaint Nodyn:Mvar ac arwynebedd yr arwyneb Nodyn:Mvar:

$V=\pi \underset{1}{\overset{a}{\int }}{\left(\frac{1}{x}\right)}^2\mathrm{d}x=\pi (1-\frac{1}{a})$

$A=2\pi \underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}\sqrt{1+{(-\frac{1}{x^2})}^2}\mathrm{d}x>2\pi \underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{x}=2\pi \ln (a).$

Gall gwerth Nodyn:Mvar fod mor fawr a sydd angen: gallwn gweld o'r hafaliad na fydd cyfaint y corn rhwng Nodyn:Math ac Nodyn:Math byth fwy na Nodyn:Pi; fodd bynnag wrth i Nodyn:Mvar cynyddu mae'r cyfaint yn raddol yn agosáu at Nodyn:Pi. Yn fathemategol, yn defnyddio nodiant terfan calcwlws:

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }V=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\pi (1-\frac{1}{a})=\pi \cdot \underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1-\frac{1}{a})=\pi .$

Mae'r fformiwla arwynebedd uchod yn rhoi arffin is ar gyfer yr arwynebedd i fod fel 2Nodyn:Pi lluosi'r logarithm naturiol o Nodyn:Mvar. Nid yw'r logarithm naturiol yn ffinedig uwchben. Mae hynny'n golygu, yn yr achos hwn, bod gan y corn arwynebedd anfeidraidd. Hynny yw,

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }A\ge \underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }2\pi \ln (a)=\mathrm{\infty }.$

Paradocs ymddangosiadol

Pan ddarganfuwyd priodweddau corn Gabriel yn gyntaf, ystyriwyd bod y ffaith bod cylchdroi rhanbarth anfeidrol o'r plân-Nodyn:Mvar o amgylch yr echelyn-Nodyn:Mvar yn gallu cynhyrchu gwrthrych gyda cyfaint meidraidd, i fod yn baradocs. Ond, wrth feddwl, gallwn deall y ffenomenon:

Gellir trin y corn fel pentwr o ddisgiau gyda radiws sy'n lleihau. Mae swm y radiws yn cynhyrchu cyfres harmonig anfeidredd. Fodd bynnag, y cyfrifiad cywir yw swm eu sgwariau. Mae gan bob disg radiws Nodyn:Math ac arwynebedd Nodyn:Math neu Nodyn:Math. Mae'r gyfres Nodyn:Math yn dargyfeirio ond mae Nodyn:Math yn cydgyfeirio. Yn gyffredinol, ar gyfer unrhyw go iawn Nodyn:Math, mae Nodyn:Math yn cydgyfeirio.

Roedd y paradocs ymddangosiadol hyn yn rhan o ddadl ynglŷn â natur anfeidredd, a oedd yn cynnwys nifer o feddylwyr allweddol yr oes gan gynnwys Thomas Hobbes, John Wallis a Galileo Galilei.

Paradocs y paentiwr

Oherwydd fod gan y corn gyfaint meidraidd ond arwynebedd anfeidraidd, mae yna'r paradocs canlynol: gallai'r corn gael ei lenwi â swm meidraidd o baent ac eto ni fyddai'r paent hwnnw'n ddigonol i orchuddio ei arwyneb mewnol. Datrysir y paradocs trwy sylweddoli y gall swm meidraidd o baent orchuddio arwynebedd anfeidrol - yn syml mae angen iddo deneuo ar gyfradd ddigon cyflym. Yn yr achos lle mae'r corn wedi'i lenwi â phaent, cyflawnir y teneuo hwn gan y gostyngiad cynyddol mewn diamedr gwddf y corn.

Gwrthdro

Mae gwrthwyneb i gorn Gabriel yn amhosib - ni ellir creu arwyneb chwyldro sydd ag arwynebedd meidraidd ond cyfaint anfeidraidd.