Di-dorredd unffurf

Mewn dadansoddi mathemategol, priodwedd o ffwythiannau yw di-dorredd unffurf. Yn fras, dywedwn fod ffwythiant yn ddi-dor unffurf os mae newid bach yn y mewnbwn x yn creu newid bach yn unig yn yr allbwn f(x)(di-dorredd), ac fod maint y newid yn unffurf, h.y. ei fod yn dibynnu ar y newid mewn x yn unig, ac nid ar werth x ei hun.

Mae di-dorredd unffurf yn briodwedd eang, yn wahanol i'r cysyniad arferol o ddi-doredd sy'n briodwedd lleol. Os yw ffwythiant yn ddi-dor at bob pwynt mewn cyfyng, yna mae'n ddi-dor ar y cyfwng; ond nid yw o reidrwydd yn ddi-dor unffurf arno.

Diffiniad

Os yw $(X,d_1)$ ac $(Y,d_2)$ yn ofodau metrig, $M\subseteq X$, ac $N\subseteq Y$, yna mae ffwythiant $f:M\to N$ yn ddi-dor unffurf os:

I bob rhif real $ϵ>0$, mae yna $\delta >0$ sy'n bodloni $d_2(f(x),f(y))<ϵ$ ar gyfer pob $x,y\in M$ gyda $d_1(x,y)<\delta$.

Os yw $X$ ac $Y$ yn is-setiau o'r rhifau real, gallwn gymryd mai'r norm Ewclidaidd arferol yw $d_1$ a $d_2$, gan roi'r diffiniad canlynol o ddi-dorredd unffurf:

Ar gyfer pob $ϵ>0$, mae yna $\delta >0$ fel fod $|x-y|<\delta$ yn ymhlygu $|f(x)-f(y)|<ϵ$.

Priodweddau

Mae pob ffwythiant di-dor unffurf yn ddi-dor, ond nid yw pob ffwythiant di-dor yn unffurf. Ystyriwch, er enghraifft, y ffwythiant f(x) = 1/x gyda'r rhifau real positif yn barth iddo (h.y., mae x > 0). Mae'r ffwythiant hwn yn ddi-dor, ond nid yn ddi-dor unffurf, gan fod y newid mewn f(x) yn ddi-derfyn wrth i x agosau at 0.

Os yw M yn ofod metrig cryno, yna mae pob ffwythiant o M i N yn ddi-dor unffurf. Yn benodol, os yw ffwythiant yn ddi-dor at bob pwynt mewn cyfyng caëdig, yna mae'n ddi-dor unffurf ar y cyfwng.

Mae pob ffwythiant di-dor Lipschitz yn ddi-dor unffurf.

Os yw (x_n) yn ddilyniant Cauchy, ac f yn ddi-dor unffurf, yna mae f(x_n) hefyd yn ddilyniant Cauchy.