Ofoid

Mewn geometreg dafluniol, mae'r ofoid yn wrthrych solid 3-dimensiwn (neu Nodyn:Math) tebyg i wy. Enghraifft arall yw'r cwadrigau. Gelwir y fersiwn 2-ddimensiwn yn "hirgrwn". Mae'r ofoid yn fath arbennig o'r set cwadratig (h.y. set o bwyntiau mewn gofod tafluniol sydd a'r un nodweddion a'r trychiad conig).

Nodweddion hanfodol yr ofoid $𝒪$ yw:

1. fod pob llinell yn croestorri $𝒪$ mewn [hyd at] dau le; h.y. croestoriadau Nodyn:Math bwynt.
2. fod tangiad pob pwynt ar y gor-blân yn unig (ar wahân i achosion dirywiedig), a
3. nad yw $𝒪$ yn cynnwys unrhyw linell (ar wahân i arwynebau llinellog).

Mae'r ofiod yn chwarae rhan allweddol wrth lunio enghreifftiau o'r plân Möbius a geometregau Möbius uwch-ddimensiwn.

Diffiniad o'r ofoid

• Mewn gofod tafluniol o ddimensiwn Nodyn:Math, gelwir y set o bwyntiau $𝒪$ yn ofoid, os:

(1) yw pob llinell Nodyn:Mvar yn cyfarfod (neu 'groestorri') $𝒪$ mewn hyd at 2 bwynt. Yn yr achos lle mae $|g\cap 𝒪|=0$, gelwir y llinell yn "llinell allanol", os yw $|g\cap 𝒪|=1$ y llinell yn 'llinell dangiad', ac os yw $|g\cap 𝒪|=2$ y llinell yn llinell secant.

(2) ar unrhyw bwynt $P\in 𝒪$, fod y llinell dangiad drwy Nodyn:Mvar yn gorchuddio'r gor-blân, a elwir yn "gor-blân (hyperplane) y tangiad" (sef is-blân tafluniol o ddimensiwn Nodyn:Math).

(3) nad yw $𝒪$ yn cynnwys unrhyw linell.

Ar gyfer gofod tafluniol meidraidd o ddimensiwn Nodyn:Math), mae'r canlyniad canlynol yn gywir:

• Os yw $𝒪$ yn ofoid mewn gofod tafluniol meidraidd Nodyn:Math, yna Nodyn:Math.

Ac yn yr achos 'medraidd' hwn, dim ond mewn gofod 3-dimensiwn y gall yr ofoid fodoli.

• Mewn gofod tafluniol meidraidd yn nhrefn Nodyn:Math (h.y. lle mae pob llinell yn cynnwys yn union Nodyn:Math o bwyntiau) a Nodyn:Math dimensiwn), yna mae pob pointset $𝒪$ yn ofoid os a dim ond os yw $|𝒪|=n^2+1$ ac ni cheir unrhyw 3 pwynt sy'n unllin (ar linell sy'n gyffredin).

O gyfnewid y gair "tafluniol" gydag "affin", yna fe geir y diffiniad ar gyfer yr ofoid affin.

Enghreifftiau

Mewn gofod tafluniol real

1. $𝒪=\{(x_1,\mathrm{...},x_d)\in {ℝ}^d|x_1^2+\cdots +x_d^2=1\},$ (hypersphere)
2. $𝒪=\{(x_1,\mathrm{...},x_d)\in {ℝ}^d|x_d=x_1^2+\cdots +x_{d-1}^2\}\cup \{\text{yn feidraidd ar bwynt }{x}_d\text{-axis}\}$

Mae'r ddwy enghraifft hyn yn cwadrig ac o ran eu tafluniad, yn hafal.

Gellir canfod enghreifftiau syml sydd ddim yn cwadrig drwy:

(a) ludo un hanner o hyper-sffêr (hypersphere) ar hyperelipsoid, mewn modd llyfn.

(b) yn y ddwy enghraifft uchod, cyfnewidiwch y mynegiad Nodyn:Math gyda Nodyn:Math.

Enghraifft feidraidd

• Mae unrhyw ofoid $𝒪$ mewn gofod tafluniol meidraidd o ddimensiwn Nodyn:Math dros y maes Nodyn:Mvar o nodwedd Nodyn:Math yn "cwadrig".