Sbiral logarithmig

Er nad yn sbiral logarithmig perffaith, mae'r gragen hon yn dangos ei siamberi mewnol, ar ffurf sbiral logarithmig bras. Dengys y llinell las cynnydd y sbiral: $b=0.1759\approx \ln (\phi )/\pi$.

Mewn mathemateg, math arbennig o spiral yw Sbiral logarithmig, ac fe'i ceir hefyd o fewn byd natur. Fe'i disgrifiwyd yn gyntaf gan Descartes ac ymchwiliwyd ymhellach i'w nodweddion mathemategol gan Jacob Bernoulli a fedyddiwyd ef yn "spira mirabilis" (y sbeiral rhyfeddol, neu wych).

Sbiral logarithmig (pitch 10°)

Diffiniad

Gellir sgwennu cyfesurynnau polar $(r,\theta )$ y gromlin logarithmig fel

$r=a{e}^{b\theta }$

neu

$\theta =\frac{1}{b}\ln (r/a),$

gydag $e$ yn sylfaen y logarithmau naturiol, ac $a$ a $b$ yn gysonion real, positif a mympwyol.

Yn ei ffurf parametrig, mae'r gromlin yn

$x(t)=r(t)\cos (t)=a{e}^{bt}\cos (t)$

$y(t)=r(t)\sin (t)=a{e}^{bt}\sin (t)$

gyda'r rhifau real $a$ a $b$.

Mae gan y sbiral hwn y briodwedd ganlynol: mae'r ongl $\varphi$ rhwng y Tangiad a'r llinell reiddiol ar y pwynt $(r,\theta )$ yn gyson. Gellir mynegi'r priodwedd hon yn nhermau calcwlws differol fel

$\arccos \frac{⟨𝐫(\theta ),{𝐫}^{\prime }(\theta )⟩}{\Vert 𝐫(\theta )\Vert \Vert {𝐫}^{\prime }(\theta )\Vert }=\arctan \frac{1}{b}=\varphi .$

Mae deilliant $𝐫(\theta )$ yn gyfraneddol i'r parametr $b$. Hynny yw, mae'n rheoli pa mor "dynn" ac i ba gyfeiriad mae'r sbiral yn troelli.

Mae sbiral logarithmig yn wahanol i sbiral Archimedes gan fod pellter rhwng y troadau o fewn y sbiral logarithmig yn cynyddu mewn dilyniant geometraidd, tra bod y troadau o fewn sbiral Archimedes, ar y llaw arall, yn gyson.

• 
  Toriad drwy ran set Mandelbrot
• 
  Gwasgedd isel uwch Gwlad yr Iâ yn ffurfio seiclon gyda'i siâp yn debyg i sbiral logarithmig
• 
  Galaeth drobwll (M51, NGC 5194) gyda'i siâp (fel llawer o alaethau sbiral) yn debyg i'r sbiral logarithmig