Pŵer perffaith

Diagram yn dangos rhodenni Cuisenaire, o natur y pwerau perffaith 4, 8, a 9.

Mewn mathemateg, cyfanrif positif yw pŵer perffaith a ellir ei fynegi fel pŵer cyfanrif o gyfanrif positif arall. Yn fwy ffurfiol fyth: n yw'r pŵer perffaith os oes rhifau naturiol m > 1, a k > 1 yn bodoli, fel bod m^k = n. Yn yr achos yma, gellir galw n y kfed pŵer perffaith. Os yw k = 2 neu k = 3, yna gelwir n y "sgwâr perffaith" neu'r "ciwb perffaith", yn y drefn honno. Weithiau, caiff 1 ei ystyried yn bŵer perffaith (1^k = 1 am bob k).

Enghreifftiau

Gellir cynhyrchu cyfres o bwerau perffaith drwy adrifo (neu ailadrodd) y gwerthoedd ar gyfer m a k. Y pwerau perffaith cyntaf, gan ddangos pwerau dyblyg, yw Nodyn:OEIS:

$2^2=4,2^3=8,3^2=9,2^4=16,4^2=16,5^2=25,3^3=27,$ $2^5=32,6^2=36,7^2=49,2^6=64,4^3=64,8^2=64,\dots$

Cyfanswm cilyddion (reciprocals) y pwerau perffaith, gan gynnwys dyblygiadau megis 3⁴ a 9², yw 1:

$\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=1.$

a gellir profi hyn fel a ganlyn:

$\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^2}\left(\frac{m}{m-1}\right)=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m(m-1)}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m})=1.$

Y pwerau perffaith cyntaf heb ddyblygiadau yw:

(weithiau 0 a 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... Nodyn:OEIS

Cyfanswm cilyddion y pwerau perffaith p, heb ddyblygiadau yw:

$\sum _p\frac{1}{p}=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0.874464368\dots$

lle dynodir μ(k) fel ffwythiant Möbius a ζ(k) fel ffwythiant Riemann zeta.

Yn ôl Euler, dangosodd Goldbach mewn llythyr sydd bellach ar goll fod cyfanswm Nodyn:Sfrac dros y set o bwerau perffaith p, heb gynnwys 1 na'r dyblygiadau, yw 1:

$\sum _p\frac{1}{p-1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\frac{1}{26}+\frac{1}{31}+\cdots =1.$

Gelwir hyn, fel arfer, yn "theorem Goldbach–Euler".

Cyfeiriadau

• Nodyn:Cite journal