Anhafaledd Cauchy-Schwarz

Mewn mathemateg, anhafaledd sy'n ddefnyddiol mewn sawl sefyllfa wahanol yw anhafaledd Cauchy–Schwarz, (hefyd anhafaledd Schwarz, Anhafaledd Cauchy, neu Anhafaledd Cauchy–Bunyakovski–Schwarz).

Cynrychiolir yr anhafaledd yn gryno fel a ganlyn:

$(a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n{)}^2\le (a_1^2+\cdots +a_n^2)(b_1^2+\cdots +b_n^2).$

Mae'r ddwy ochr yn hafal os, a dim ond os, y mae

$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots =\frac{a_n}{b_n}.$

Ffordd arall o fynegi hyn yw dweud bod

$|⟨x,y⟩{|}^2\le ⟨x,x⟩\cdot ⟨y,y⟩.$

ar gyfer unrhyw elfennau x ac y o ofod lluoswm mewnol real neu gymhlyg. Mae'r ddwy ochr yn hafal os, a dim ond os mae x ac y yn llinol-dibynnol (neu, o feddwl yn geometraidd, yn gyfochrog).

Mae'r anhafaledd felly'n darparu cysyniad o'r "ongl rhwng dau fector" i ofod lluoswm mewnol, lle nad yw geometreg Ewclidaidd yn gwneud synnwyr o reidrwydd. Mae felly'n cyfiawnhau meddwl am ofodau lluoswm mewnol fel cyffredinoliad o ofod Ewclidaidd.

Canlyniad pwysig anhafaledd Cauchy–Schwarz yw'r ffaith fod lluoswm mewnol yn ffwythiant di-dor.

Rhoddir ffurf arall o'r anhafaledd gan ddefnyddio nodiant norm:

$|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert .$

Profwyd fersiwn meidraidd-ddimensiynol yr anhafaledd hwn ar gyfer fectorau real gan Cauchy yn 1821, ac yn 1859 profodd V.Ya.Bunyakovsky ei fod yn bosib canfod ffurf integraidd o anhafaledd Cauchy. Profwyd y canlyniad cyffredinol ar gyfer gofod lluoswm mewnol gan K.H.A.Schwarz ym 1885.

Prawf

Gan fod yn amlwg fod yr anhafaledd yn wir pan mae y = 0, fe gawn gymryd fod <y, y> yn an-sero. Gadewch i $\lambda$ fod yn rhif cymhlyg. Yna mae

$0\le {\Vert x-\lambda y\Vert }^2=⟨x-\lambda y,x-\lambda y⟩=⟨x,x⟩-\overline{\lambda }⟨x,y⟩-\lambda ⟨y,x⟩+|\lambda {|}^2⟨y,y⟩.$

Gan ddewis

$\lambda =⟨x,y⟩\cdot ⟨y,y{⟩}^{-1}$

gwelwn fod

$0\le ⟨x,x⟩-|⟨x,y⟩{|}^2\cdot ⟨y,y{⟩}^{-1}$

sy'n wir os, a dim ond os y mae

$|⟨x,y⟩{|}^2\le ⟨x,x⟩\cdot ⟨y,y⟩$

hynny yw:

$|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert ,$

Sef anhafaledd Cauchy-Schwarz.

Achosion arbennig nodedig

Rⁿ

Mewn gofod Ewclidaidd Rⁿ, gyda'r lluoswm mewnol arferol, dyma anhafaledd Cauchy-Schwarz:

${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{y}_i^2\right).$

L²

Yn y gofod lluoswm mewnol o ffwythiannau sqwâr-integraidd â gwerthoedd cymhlyg, mae gennym fod:

${|\int f(x)\bar{g}(x)dx|}^2\le \int {|f(x)|}^{2}dx\cdot \int {|g(x)|}^{2}dx.$

Mae anhafaledd Hölder yn gyffredinoliad o hyn.

Defnydd

Fe'i defnyddir yn aml i brofi'r anhafeledd triongl ar gyfer y lluoswm mewnol: cymerwch fectorau x ac y,

$\Vert x+y{\Vert }^2$	$=⟨x+y,x+y⟩$
	$=\Vert x{\Vert }^2+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+\Vert y{\Vert }^2$
	$\le \Vert x{\Vert }^2+2|⟨x,y⟩|+\Vert y{\Vert }^2$
	$\le \Vert x{\Vert }^2+2\Vert x\Vert \Vert y\Vert +\Vert y{\Vert }^2$
	$={(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert )}^2$

Mae cymryd ail-israddau'n rhoi'r anhafaledd triongl.

Gellir defnyddion anhafaledd Cauchy–Schwarz wrth brofi anhafaledd Bessel.

Deillir ffurf cyffredinol egwyddor ansicrwydd Heisenberg trwy ddefnyddioanhafaledd Cauchy-Schwarz inequality yn y gofod lluoswm mewnol o ffwythiannau ton ffisegol.

Cyffredinoliadau

Mae yna sawl cyffredinoliad posib o anhafaledd Cauchy-Schwarz yng nghyd-destyn haniaeth gweithredyddion.