Theorem gwaddod

Mewn dadansoddi cymhleth, disgyblaeth o fewn mathemateg, mae'r theorem gwaddod, a elwir weithiau'n theorem gwaddod Cauchy, yn offeryn pwerus i werthuso integrynnau amlin o ffwythiannau analytig dros gromliniau caeedig; yn aml gellir ei ddefnyddio i gyfrifo integrynnau real, a hefyd i gyfrifo cyfresi anfeidraidd. Mae'n cyffredinoli theorem integryn Cauchy a fformiwla integryn Cauchy. O safbwynt geometregol, gellir ei ystyried yn achos arbennig o theorem gyffredinol Stokes.

Datganiad

Mae'r datganiad fel a ganlyn:

Darlun o'r lleoliad.

Gadewch i Nodyn:Mvar fod yn is-set agored gysylltiedig syml o'r plân cymhlyg sy'n gynnwys set meidraidd o bwyntiau Nodyn:Math, Nodyn:Math, a ffwythiant Nodyn:Mvar sydd wedi'i diffinio ac yn holomorffig ar Nodyn:Math. Gadewch Nodyn:Mvar fod yn gromlin gaeedig yn Nodyn:Math, ac yn dynodi rhif dirwyniad (winding number) Nodyn:Mvar o gwmpas Nodyn:Math gan Nodyn:Math. Mae'r integryn amlin o Nodyn:Mvar o amgylch Nodyn:Mvar yn hafal i Nodyn:Math lluosi swm gwaddodion Nodyn:Mvar yn y pwyntiau, pob un yn cael ei gyfrif cymaint o weithiau y mae Nodyn:Mvar yn troelli o amgylch y pwynt:

${\oint }_{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n\mathrm{I}(\gamma ,a_k)\mathrm{Res}(f,a_k).$

Os yw Nodyn:Mvar yn gromlin gaeedig syml sydd wedi'i gogwyddo'n bositif, mae Nodyn:Math os yw Nodyn:Math tu mewn i Nodyn:Mvar, a 0 os na, felly

${\oint }_{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum \mathrm{Res}(f,a_k)$

gyda'r swm dros yr Nodyn:Math sydd tu mewn Nodyn:Mvar.

Er mwyn gyfrifo integrynnau real, defnyddir y theorem gwaddod yn y ffordd ganlynol: rydym yn ymestyn yr integrand i'r plân cymhlyg a chyfrifo'i gwaddodion (sydd fel arfer yn hawdd), ac rydym yn ymestyn rhan o'r echel real i gromlin gaeedig trwy atodi hanner cylch yn yr hanner plân uchaf neu isaf, gan ffurfio hanner cylch. Yna gallwn gyfrifo'r integryn dros y gromlin hon gan ddefnyddio'r theorem gwaddod. Yn aml, bydd rhan hanner cylch yr integryn yn tueddu tuag at sero wrth i radiws yr hanner cylch dyfu, gan adael dim ond rhan echel real yr integryn, yr un yr oedd gennym ddiddordeb ynddo yn wreiddiol.

Enghreifft

Integryn ar hyd yr echel go iawn

Mae'r integryn

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{itx}}{x^2+1}dx$

Yr amlin Nodyn:Mvar.

yn codi mewn theori tebygolrwydd wrth gyfrifo ffwythiant nodweddiadol y dosraniad Cauchy. Nid yw'n hawdd ei gyfrifo gan ddefnyddio technegau calcwlws elfennol, ond gellir ei gyfrifo trwy ei fynegi fel terfan integrynnau amlin.

Tybiwch fod Nodyn:Math, a diffiniwch yr amlin Nodyn:Mvar sy'n mynd ar hyd y llinell real o Nodyn:Math i Nodyn:Mvar, ac yna'n wrthglocwedd ar hyd hanner cylch wedi'i ganoli ar 0 o Nodyn:Mvar i Nodyn:Math. Cymerwch Nodyn:Mvar i fod yn fwy nag 1, fel bod yr uned ddychmygol wedi'i hamgáu o fewn y gromlin. Nawr, ystyriwch yr integryn amlin

${\int }_{C}f(z)dz={\int }_C\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz.$

Gan fod Nodyn:Math yn ffwythiant cyfan (heb unrhyw hynodion ar unrhyw bwynt yn y plân cymhlyg), mae gan y ffwythiant hwn hynodion ond lle mae'r enwadur Nodyn:Math yn sero. Gan fod Nodyn:Math, mae hwn yn sero yn Nodyn:Math ac Nodyn:Math. Dim ond un o'r pwyntiau hynny sydd yn y rhanbarth sydd wedi'i ffinio gan yr amlin hon. Gan fod Nodyn:Math yn

$\begin{array}{cc}\frac{e^{itz}}{z^2+1}& =\frac{e^{itz}}{2i}(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i})\\ & =\frac{e^{itz}}{2i(z-i)}-\frac{e^{itz}}{2i(z+i)},\end{array}$

gwaddod Nodyn:Math yn Nodyn:Math yw

${\mathrm{Res}}_{z=i}f(z)=\frac{e^{-t}}{2i}.$

Yn ôl y theorem gwaddod felly, mae gennym

${\int }_{C}f(z)dz=2\pi i\cdot \underset{z=i}{\mathrm{Res}}f(z)=2\pi i\frac{e^{-t}}{2i}=\pi e^{-t}.$

Gellir ymrannu'r amlin Nodyn:Mvar i mewn i'r rhan syth a'r arc grom, fel bod

${\int }_{\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{t}\mathrm{h}}f(z)dz+{\int }_{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}}f(z)dz=\pi e^{-t}$

ac felly

${\int }_{-a}^{a}f(z)dz=\pi e^{-t}-{\int }_{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}}f(z)dz.$

Gan ddefnyddio'r Lema Amcangyfrif, mae gennym

$\left|{\int }_{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}}\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz\right|\le \pi a\cdot \underset{\text{arc}}{\sup }\left|\frac{e^{itz}}{z^2+1}\right|\le \pi a\cdot \underset{\text{arc}}{\sup }\frac{1}{|z^2+1|}\le \frac{\pi a}{a^2-1},$

ac

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi a}{a^2-1}=0.$

Felly, mae

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz=\pi e^{-t}.$

Os yw Nodyn:Math yna mae dadl debyg gydag arc Nodyn:Mvar sy’n troelli o gwmpas Nodyn:Math yn hytrach nag Nodyn:Math yn dangos fod

Yr amlin Nodyn:Mvar.

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz=\pi e^t,$

ac felly, yn olaf mae gennym

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{itz}}{z^2+1}dz=\pi e^{-\left|t\right|}.$

(Os yw Nodyn:Math yna mae'r integryn yn lleihau i rywbeth gallwn ddefnyddio ddulliau calcwlws elfennol arno, a'i werth yw Nodyn:Pi. )

Cyfeiriadau

• Nodyn:Cite book
• Nodyn:Cite book
• Nodyn:Cite book
• Nodyn:Cite book